به نام خدا
هر معادله به فرم $ax^4+bx^2+c=0$، یک معادلۀ شبه درجۀ دوم است. معادلۀ شبه درجۀ دوم، چهار ریشه دارد. گاهی ممکن است که فقط دوتا از این ریشهها حقیقی باشند. در معادلۀ $x^4-7x^2-5=0$، چنین است. فقط دوتا از ریشههای این معادله حقیقی هستند. سؤال نیز از ما مجموع و حاصلضرب ریشههای حقیقی معادله و حاصل عبارت $2P^2-3SP+2S$ را خواسته است. پس ابتدا مجموع و حاصلضرب ریشههای حقیقی این معادله را بهدست میآوریم. مجموع ریشههای حقیقی این معادله، برابر با 0 است؛ زیرا ریشههای حقیقی این معادله، بهصورت $ \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} } $ و $ -\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} } $ هستند که مشخص است که مجموع آنها برابر با 0 است. حاصلضرب ریشههای حقیقی معادله نیز به سادگی بهدست میآیند.
$$\bigg(\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} }\bigg)\cdot \bigg( -\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} }\bigg)=-\bigg( \frac{7+ \sqrt{69} }{2} \bigg)= \frac{-7-\sqrt{69}}{2} $$
پس:
$$S=0$$
$$P= \frac{-7-\sqrt{69}}{2} $$
$$2\bigg(\frac{-7-\sqrt{69}}{2}\bigg)^2-3(0)\bigg(\frac{-7-\sqrt{69}}{2}\bigg)+2(0)=\boxed{59+7\sqrt{69}}$$
پس گزینۀ 4 درست است.
