Question

اگر مجموع و حاصلضرب ریشه های حقیقی معادله $x^4-7x^2-5=0 $ به ترتیب $S$ و $ P $ باشد، حاصل عبارت $ 2P^2-3SP+2S $، کدام است؟

1. $59-7 \sqrt{69} $
2. $7+ \sqrt{69} $
3. $50 $
4. $59+7 \sqrt{69} $

Answer 1

به نام خدا

هر معادله به فرم $ax^4+bx^2+c=0$، یک معادلۀ شبه درجۀ دوم است. معادلۀ شبه درجۀ دوم، چهار ریشه دارد. گاهی ممکن است که فقط دوتا از این ریشه‌ها حقیقی باشند. در معادلۀ $x^4-7x^2-5=0$، چنین است. فقط دوتا از ریشه‌های این معادله حقیقی هستند. سؤال نیز از ما مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های حقیقی معادله و حاصل عبارت $2P^2-3SP+2S$ را خواسته است. پس ابتدا مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های حقیقی این معادله را به‌دست می‌آوریم. مجموع ریشه‌های حقیقی این معادله، برابر با 0 است؛ زیرا ریشه‌های حقیقی این معادله، به‌صورت $ \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} } $ و $ -\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} } $ هستند که مشخص است که مجموع آن‌ها برابر با 0 است. حاصل‌ضرب ریشه‌های حقیقی معادله نیز به سادگی به‌دست می‌آیند.

$$\bigg(\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} }\bigg)\cdot \bigg( -\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} }\bigg)=-\bigg( \frac{7+ \sqrt{69} }{2} \bigg)= \frac{-7-\sqrt{69}}{2} $$

پس:

$$S=0$$

$$P= \frac{-7-\sqrt{69}}{2} $$

$$2\bigg(\frac{-7-\sqrt{69}}{2}\bigg)^2-3(0)\bigg(\frac{-7-\sqrt{69}}{2}\bigg)+2(0)=\boxed{59+7\sqrt{69}}$$

پس گزینۀ 4 درست است.

Comments

کاملا درسته
درود بر شما

---

با توجه به ضرایب چند جمله ای S=0 و P=5 بنابراین جواب 50 می باشد. در این روش نیاز به محاسبه ریشه ها نمی باشه

---

@amir7788
این چیزی شما می گویید برای یک معادله درجه دوم صادق است، اما همان طور که در سوال مشاهده می کنید معادله درجه 4 است و در سوال مجموع و حاصل ضرب ریشه های حقیقی را $S و P$ کرده است. علاوه بر اینها پاسخ سوال 50 نیست.