به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+5 امتیاز
1,496 بازدید
در دبیرستان توسط Dana_Sotoudeh (2,347 امتیاز)

اگر مجموع و حاصلضرب ریشه های حقیقی معادله x^4-7x^2-5=0 به ترتیب S و P باشد، حاصل عبارت 2P^2-3SP+2S ، کدام است؟

  1. 59-7 \sqrt{69}
  2. 7+ \sqrt{69}
  3. 50
  4. 59+7 \sqrt{69}
مرجع: کنکور سراسری - رشته ریاضی فیزیک - سوال 101

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط UnknownUser (1,608 امتیاز)
انتخاب شده توسط Dana_Sotoudeh
 
بهترین پاسخ

به نام خدا

هر معادله به فرم ax^4+bx^2+c=0، یک معادلۀ شبه درجۀ دوم است. معادلۀ شبه درجۀ دوم، چهار ریشه دارد. گاهی ممکن است که فقط دوتا از این ریشه‌ها حقیقی باشند. در معادلۀ x^4-7x^2-5=0، چنین است. فقط دوتا از ریشه‌های این معادله حقیقی هستند. سؤال نیز از ما مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های حقیقی معادله و حاصل عبارت 2P^2-3SP+2S را خواسته است. پس ابتدا مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های حقیقی این معادله را به‌دست می‌آوریم. مجموع ریشه‌های حقیقی این معادله، برابر با 0 است؛ زیرا ریشه‌های حقیقی این معادله، به‌صورت \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} } و -\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} } هستند که مشخص است که مجموع آن‌ها برابر با 0 است. حاصل‌ضرب ریشه‌های حقیقی معادله نیز به سادگی به‌دست می‌آیند.

\bigg(\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} }\bigg)\cdot \bigg( -\sqrt{ \frac{7+ \sqrt{69} }{2} }\bigg)=-\bigg( \frac{7+ \sqrt{69} }{2} \bigg)= \frac{-7-\sqrt{69}}{2}

پس:

S=0

P= \frac{-7-\sqrt{69}}{2}

2\bigg(\frac{-7-\sqrt{69}}{2}\bigg)^2-3(0)\bigg(\frac{-7-\sqrt{69}}{2}\bigg)+2(0)=\boxed{59+7\sqrt{69}}

پس گزینۀ 4 درست است.

توسط Dana_Sotoudeh (2,347 امتیاز)
+2
کاملا درسته
درود بر شما
توسط amir7788 (2,997 امتیاز)
–2
با توجه به ضرایب چند جمله ای S=0 و P=5 بنابراین جواب 50 می باشد. در این روش نیاز به محاسبه ریشه ها نمی باشه
توسط Dana_Sotoudeh (2,347 امتیاز)
+2
@amir7788
این چیزی شما می گویید برای یک معادله درجه دوم صادق است، اما همان طور که در سوال مشاهده می کنید معادله درجه 4 است و در سوال مجموع و حاصل ضرب ریشه های حقیقی را S و P کرده است. علاوه بر اینها پاسخ سوال 50 نیست.
...