توجه کنید که برای یافتن تعداد ریشه‌های حقیقیِ یک برابریِ چندجمله‌ای قضیه‌ها و ابزارهای زیادی هست، برای نمونه دنبالهٔ استورم Sturm که می‌توانید در پیوند زیر در همین سایت محفل ریاضی ایرانیان نمونه‌ای از آن را ببینید.
https://math.irancircle.com/2104/#q2104
پرسش شما فقط یک گام با این حالت فاصله دارد. توجه کنید که مجهول‌تان فرجه‌های ۲ و ۳ در برخی جمله‌ها دارد پس ترفندی که می‌توانید به کار بگیرید این است که یک متغیر جدید $X$ تعریف کنید که به جای $x^\frac{1}{6}$ بنشیند، پس به برابریِ زیر می‌رسید.
$$X^{12}-2\sqrt{2}X^9-4X^8+4X^6+8X^4$$
چون $x=0$ (که هم‌ارز با $X=0$ است) برایتان مهم نیست و از شکل برابری روشن است، از $X^4$ که چندجمله‌ای بالا را می‌شمارد و تنها ریشه‌اش صفر است فاکتور می‌گیریم. پس چندجمله‌ای زیر را داریم که صفر ریشه‌اش نیست و ریشه‌هایش ریشه‌های چندجمله‌ای بالا هستند.
$$X^8-2\sqrt{2}X^5-4X^4+4X^2+8$$
همزمان به این هم توجه می‌کنید که چون $x$ توان ششم (زوجی) از مقدار $X$ می‌شود، پس باید عددی مثبت باشد، پس تنها به ریشه‌های مثبت چندجمله‌ایِ جدیدِ بالا باید اهمیت دهیم. در نتیجه از روش دنبالهٔ استورم برای بازهٔ $(0,\infty)$ استفاده می‌کنیم. برای توضیح این روش به پست اشاره شده در بالا نگاه کنید، در اینجا یک‌ضرب از نرم‌افزار میپل استفاده می‌کنیم (ولی توجه کنید که برای این محاسبه تنها مشتق گرفتن و تقسیم چندجمله‌ای تک‌متغیره و چند جایگذاری عدد نیاز دارید که با دست در چند دقیقه می‌شود انجام داد).
h := x^8 - 2*sqrt(2)*x^5 - 4*x^4 + 4*x^2 + 8:
sturm(h, x, 0, infinity);
که خروجیِ آن ۱ است. پس $x=8$ که هم‌ارز با $X=\sqrt{2}$ می‌شود، تنها ریشهٔ حقیقی و ناصفرِ برابری نخست است.
