Question

همه ریشه های صحیح معادله زیر را بیابید:

$1+ x + x^{2} + x^{3} + x^{4} = y^{4} $

برای یافتن همه ریشه‌های صحیح معادله:

$ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^4 $

باید بررسی کنیم که برای چه مقادیر صحیح معادله درجه ۴ سمت چپ برابر یک عدد صحیح به توان ۴ است.

Answer 1

سه حالت فرض می کنیم:

۱. متغیر $x$ مثبت باشد: در این صورت نامعادله

$x^{4}<1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}<(x+1)^{4}$

برقرار خواهد بود. یعنی در مجموعه اعداد مثبت، قطعا جواب نداریم.

2. اگر متغیر $x$ صفر باشد، آنگاه دسته جواب های $(x,y)=(0,1)،(x,y)=(0,-1)$ در معادله صدق می کنند‌.

۳. اگر متغیر $x$ منفی باشد، به سادگی میتوان نشان داد که:

$(x+1)^{4}<1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}<(x-1)^{4}$

بنابراین معادله تنها زمانی جواب خواهد داشت که:

$1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=x^{4} \Longrightarrow 1+x+x^{2}+x^{3}=0$

که با ضرب عامل $x-1$ در طرفین داریم:

$x^{4}-1=0 \Longrightarrow x= \pm 1$

که چون فرض کردیم $x$ منفی است؛ جواب مثبت رو چک نمی کنیم. در حالتی که ایکس برابر با منفی یک باشد هم جواب داریم:

$(x,y)=(-1,-1),(x,y)=(-1,1)$

در نهایت نشان دادیم که معادله در مجموعه اعداد صحیح ۴ دسته جواب دارد.