سه حالت فرض می کنیم:
۱. متغیر $x$ مثبت باشد: در این صورت نامعادله
$x^{4}<1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}<(x+1)^{4}$
برقرار خواهد بود. یعنی در مجموعه اعداد مثبت، قطعا جواب نداریم.
- اگر متغیر $x$ صفر باشد، آنگاه دسته جواب های
$(x,y)=(0,1)،(x,y)=(0,-1)$
در معادله صدق می کنند.
۳. اگر متغیر $x$ منفی باشد، به سادگی میتوان نشان داد که:
$(x+1)^{4}<1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}<(x-1)^{4}$
بنابراین معادله تنها زمانی جواب خواهد داشت که:
$1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=x^{4} \Longrightarrow 1+x+x^{2}+x^{3}=0$
که با ضرب عامل $x-1$ در طرفین داریم:
$x^{4}-1=0 \Longrightarrow x= \pm 1$
که چون فرض کردیم $x$ منفی است؛ جواب مثبت رو چک نمی کنیم. در حالتی که ایکس برابر با منفی یک باشد هم جواب داریم:
$(x,y)=(-1,-1),(x,y)=(-1,1)$
در نهایت نشان دادیم که معادله در مجموعه اعداد صحیح ۴ دسته جواب دارد.
