اگر $a=0$ داریم:
$$x^2(x^2+1)=yz,y^2(y^2+1)=zx,z^2(z^2+1)=xy$$
$$ \Rightarrow (xyz)^2(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=(xyz)^2$$
$$ \Rightarrow (xyz)^2((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)-1)=0 $$
اگر هیچکدام از متغیرها صفر نباشد هر دو پرانتز غیر صفراند.(؟) بنابر این باید حداقل یکی ار آنها صفر باشد و از آنجا به سادگی داریم:
$$x=y=z=0$$
اگر $a>0$ به سادگی میتوان بررسی کرد که معادله حداقل دو جواب به صورت زیر دارد:
$$(x,y,z)=(\sqrt[4]{a},\sqrt[4]{a},\sqrt[4]{a}),(x,y,z)=(-\sqrt[4]{a},-\sqrt[4]{a},-\sqrt[4]{a})$$
اگر $a<0$ قرار دهید $b:=-a$ واضح است که $b>0$ و:
$$x^2(x^2+1)+b=yz,y^2(y^2+1)+b=zx,z^2(z^2+1)+b=xy$$
$$ \Rightarrow (x^2(x^2+1)+b)(y^2(y^2+1)+b)(z^2(z^2+1)+b)=(xyz)^2$$
از طرفی دیگر:
$$x^2(x^2+1)=x^4+x^2\geq x^2 \Rightarrow x^2(x^2+1)+b>x^2$$
و به همین ترتیب:
$$y^2(y^2+1)+b>y^2,z^2(z^2+1)+b>z^2$$
بنابراین:
$$(x^2(x^2+1)+b)(y^2(y^2+1)+b)(z^2(z^2+1)+b)>(xyz)^2$$
و این نتیجه میدهد که در این حالت جواب نداریم. پس اگر $a \leq 0$ معادله حداکثر یک جواب دارد.
$\Box$
تفنن:
در حالت $a>0$ بررسی کنید ببینید بجز دو جواب حدسی من جوابهای دیگر هم داریم؟
