Question

چند زوج $(x,y)$ از اعداد حقیقی در دستگاه معادلات زیر صدق می کند؟

$$\begin{align} 2y^2+2y+4x=x^2+xy+4\\ y^2+2x^2+2y= 5x+3xy+3 \end{align}$$

Answer 1

احتمالا هدف این پرسش این بوده‌است که ببینند چه فردی پیرامون مقطع‌های مخروطی مطالعهٔ بیشتر داشته‌است. به هر حال شکل همگن کلی ضابطهٔ یک مقطع مخروطی یک چندجمله‌ای درجهٔ دوی دو متغیره است که در کتاب‌های هندسه‌تحلیلی دبیرستانی به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$$

شاید این را دیده باشید که اگر تعریف کنید $\Delta=B^2-4AC$ آنگاه داریم

1. اگر $\Delta< 0$ آنگاه دایره، بیضی یا یک نقطه دارید.
2. اگر $\Delta=0$ آنگاه سهمی، یک یا دو خط موازی دارید.
3. اگر $\Delta>0$ آنگاه هذلولوی یا دو خط متقاطع دارید.

اما چگونه تشخیص داد که در هر یک از این سه حالت مقطع خم‌دار را دارید یا مقطع‌های بدون خم (نقطه و خط و دوخط). یک فرمول کمکی دیگر، فرمول $\Delta'=(AC-\frac{B^2}{4})F+\frac{BED-CD^2-AE^2}{4}$ است. اگر این مقدار صفر شود آنگاه با حالت‌های بدون خم روبرو هستید. هر دو ضابطهٔ شما (پس از به یک طرف آوردن دو سمت تساوی‌ها) دارای $\Delta>0$ و $\Delta'=0$ هستند پس هر دو به شکل دو خط متقاطع هستند. دو خط با معادلهٔ $ax+by+c=0$ و $a'x+b'y+c'=0$ در نظر بگیرید. معادلهٔ دوخط با هم برابر است با $(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0$ پس با ضرب کردن پرانتزها و سپس برابر قرار دادن با ضابطه‌های دو مقطع‌تان دو دستگاه دارای ۶ معادله ۶ مجهول خواهید بود. با حل آنها در واقع تجزیهٔ دو چندجمله‌ای درجهٔ دوتان را خواهید داشت که به شکل زیر خواهندشد.

$$\begin{array}{l} -x^2-xy+2y^2+4x+2y-4=-(x+2y-2)(x-y-2)\\ 2x^2-3xy+y^2-5x+2y-3=(2x-y+1)(x-y-3) \end{array}$$

اما توجه کنید که خط $x-y-2$ موازی خط $x-y-3$ است. پس این دو خط یکدیگر را قطع نمی‌کنند. پس به جای چهار نقطهٔ برخورد سه نقطهٔ برخورد دارید.

1. برخورد $x+2y-2$ با $2x-y+1$.
2. برخورد $x+2y-2$ با $x-y-3$.
3. برخورد $x-y-2$ با $2x-y+1$.

این سه نقطه برابر هستند با $(0,1)$ و $(\frac{8}{3},\frac{1}{3})$ و $(-3,-5)$.

Answer 2

به نام خدا.

دو معادله را از هم کم می کنیم کرد:

$2y^2+2y+4x-y^2-2x^2-2y=x^2+xy+4-5x-3xy-3 \Longrightarrow y^2-3x^2+2xy+9x-1=0 \Longrightarrow (x+y)^2=4x^2-9x+1 \Longrightarrow y= \pm \sqrt{4x^2-9x+1} -x$

حال $y= \sqrt{4x^2-9x+1} -x$ را در معادله اول قرار می دهیم. به معادله زیر خواهیم رسید:

$(\sqrt{4x^2-9x+1} )(5x-2)=10x^2-16x-2$

حال طرفین را به توان دو می رسانیم. محاسبات کمی طولانی می شود که در نهایت به معادله زیر خواهیم رسید:

$3x^3+x^2-24x=0 \Longrightarrow x(3x^2+x-24)=0$

که ریشه ها می شوند: $x_1=0 \space , x_2=-3\space , x_3= \frac{8}{3}$ می باشند. با قرار دادن آنها در دو معادله مسئله خواهیم داشت: $(0,1),(-3,-5),( \frac{8}{3} , \frac{1}{3} )$

توجه کنید که اگر قرار می دادیم $y= - \sqrt{4x^2-9x+1} -x$ در نهایت به همین نتیجه می رسیدیم.