به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
147 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

چند چهارتایی مرتب $(a,b,c,d)$ از اعداد صحیح در دستگاه معادلات زیر صدق می‌کنند؟

\begin{align} a+b=c^2+d^2\\ d+c=a^2+b^2 \end{align}
مرجع: المپیاد ریاضی دوره دوم متوسطه، مرحله اول، سال 1399، سوال6
توسط mort (197 امتیاز) 2 نشانه گذاری شده
+2
سلام d را برحسب a و b و c و بدست آوردید (در معادله دوم) سپس مقدار d را در معادله اول جایگذاری کنید و c را بر حسب a و b محاسبه کنید. (جواب c از یک معادله درجه 2 محاسبه می شود.) در داخل رادیکال عبارت مساوی با c شرایطی برای a و b ایجاد می شود که جواب های محدودی برای a و b می توان بدست آورد. تنها 0 و 1 می توانند به جای a و b و c و d قرار گیرند.

2 پاسخ

+5 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

توجه کنید که چون $c^2+d^2$ نامنفی است پس باید $a+b$ نیز نامنفی شود (هر چیزی در اینجا می‌گوئیم بنا به تقارن برای $c$ و $d$ هم نتیجه می‌شود). اکنون یک نکته «اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیح باشند و $a+b\geq 3$ آنگاه $a^2+b^2\gneqq a+b$». اگر در پرسش شما $a+b\geq 3$ آنگاه

$$\begin{array}{l} a+b\geq 3\Longrightarrow a^2+b^2\gneqq a+b\\ c+d=a^2+b^2,a^2+b^2\gneqq a+b\geq 3\Longrightarrow c+d> 3\Longrightarrow c^2+d^2\gneqq c+d\\ \therefore a+b=c^2+d^2\gneqq c+d=a^2+b^2\Longrightarrow a+b> a^2+b^2\text{ تناقض } \end{array}$$

پس حتما باید داشته‌باشیم $a+b\leq 2$. بنا به تقارن نتیجهٔ مشابه برای $c+d$. توجه کنید که اگر یکی از $a$ و $b$ عددی کوچکتر از $-1$ باشد یعنی $-2$ یا $-3$ و ... آنگاه $a^2+b^2$ بزرگتر یا مساوی ۴ می‌شود که تناقض با $c+d\leq 2$ می‌سازد. همینطور اگر یکی از $a$ و $b$ برابر با ۲ باشد آنگاه دوباره $a^2+b^2$ بزرگتر یا مساوی ۴ می‌شود و دوباره تناقض. پس برای $(a,b)$ تنها گزینه‌های ممکن عبارت‌اند از:

$$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(-1,0),(0,-1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1)$$

بعلاوه گزینه‌های $(-1,0)$ و $(0,-1)$ و $(-1,-1)$ نیز خودبه‌خود رد می‌شوند چون در ابتدا گفتیم که $a+b$ نامنفی می‌شود. پس گزینه‌های ممکن محدودتر نیز می‌شوند.

$$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(-1,1),(1,-1)$$

گزینه‌های $(-1,1)$ و $(1,-1)$ نیز رد می‌شوند چون جمع خودشان صفر می‌شود پس $c^2+d^2=0$ که نتیجه می‌دهد $c=d=0$ ولی در اینصورت $c+d=0$ که با $a^2+b^2=2$ برابر نمی‌شود. پس گزینه‌ها محدودتر هم می‌شوند.

$$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$$

برای $(c,d)$ هم همین گزینه‌ها را داریم. مشخص است که با انتخاب $(a,b)=(0,0)$، تنها گزینهٔ سازگار برای $(c,d)$ نیز $(0,0)$ می‌شود. با انتخاب $(a,b)=(1,1)$، تنها گزینهٔ سازگار برای $(c,d)$ برابر با $(1,1)$ است. و دو گزینهٔ $(0,1)$ و $(1,0)$ برای $(a,b)$ آزادانه دو گزینهٔ مشابه برای $(c,d)$ را لازم می‌شوند. پس تعداد کل چهارتایی‌های ممکن برابر با $1+1+2\times 2=6$ می‌شود.

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+3
@Elyas1 اگر $n$ یک عدد صحیح باشد آنگاه $n^2\geq n$ و اگر $n\geq 2$  آنگاه نتیجه می‌دهد $n^2\gneqq n$. آنگاه از فرض $a+b$ مثبت باشد و $a+b\geq 3$ نتیجه بگیرید که حداقل یکی از $a$ و $b$ بزرگتر یا مساوی ۲ است. پس در $a^2+b^2$ یکی اکیدا از توان یک‌اش بزرگتر و دیگری بزرگتر یا مساوی است. پس $a^2+b^2\gneqq a+b$ می‌شود که به دلیل مشابه در متن پاسخ به تناقض می‌خورید.
توجه کنید که اگر به جای ۳، ۲ می‌گذاشتیم دیگر نمی‌توانستیم با اطمینان بگوئیم حتما یکی بزرگتریامساوی ۲ است، چون حالت ۱+۱ هم ۲ می‌شود.
توسط Am.s (380 امتیاز)
+1
@AmirHosein بسیار عالی. اما ببخشید نماد $\gneqq$ با $\not \geq$ دقیقاً چه‌تفاوتی دارد؟
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+1
@Am.s نماد $\gneqq$ یعنی بزرگتر اکید باشد (تساوی رخ ندهد) و نماد $\not\geq$ یعنی بزرگتریامساوی نباشد، یا همان «نقیضِ بزرگتر یا مساوی»، چه زمانی این نقیض روی می‌دهد زمانی که بزرگتر یا مساوی رخ ندهد یعنی از سه حالتِ «بزرگتر اکید، تساوی، کوچکتر اکید» دو حالت نخست نباید رخ بدهد چون هر کدام از این دو حالت جزوی از بزرگتریامساوی هستند. پس $\not\geq$ در واقع با $\lneqq$ یا $>$ یکسان است.
توسط Am.s (380 امتیاز)
@AmirHosein متشکرم. پس اینگونه که من متوجه‌شدم، یعنی نماد $\gneqq$ با $>$ خیلی تفاوتی ندارد و تقریباً یکسان است. درست متوجه‌شدم؟
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+1
@Am.s دقیقا یکی هستند با این تفاوت که در $\gneqq$ شما می‌خواهید به خواننده تأکید کنید که «توجه داشته باشید تأکید می‌کنم اکید! بدون تساوی!». گاهی برخی نویسنده‌ها (که تعدادشان کم است و هر چه زمان می‌گذرد هم کمتر می‌شوند)، نماد $>$ یا $\subset$ را با معنای $\geq$ و $\subseteq$ به کار می‌برند. ولی قاعدتا باید این قراردادشان را ابتدا اشاره کنند و سپس شروع به این استفاده به این نحو بکنند.
+3 امتیاز
توسط amir7788 (1,135 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

برای هر عدد صحیح n داریم
$$n^2 \ge n $$ تساوی وقتی درست است که $ n=1 or 0 $ بنابراین $$ a^2+b^2+c^2+d^2\ge a+b+c +d $$ تساوی وقتی درست است که هر کدام یا 0 یا 1 باشد $ a=b=c=d=1 or 0$ $$ (1,0,1,0),(1,0,0, 1),(0,1,1,0),(0,1,0,1) $$ بنابراین 6 حالت می باشه


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...