چند چهارتایی مرتب $(a,b,c,d)$ از اعداد صحیح در دستگاه معادلات زیر صدق میکنند؟ $a+b=c^2+d^2$، $d+c=a^2+b^2$

Question

چند چهارتایی مرتب $(a,b,c,d)$ از اعداد صحیح در دستگاه معادلات زیر صدق می‌کنند؟

\begin{align} a+b=c^2+d^2\\ d+c=a^2+b^2 \end{align}

Answer 1

توجه کنید که چون $c^2+d^2$ نامنفی است پس باید $a+b$ نیز نامنفی شود (هر چیزی در اینجا می‌گوئیم بنا به تقارن برای $c$ و $d$ هم نتیجه می‌شود). اکنون یک نکته «اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیح باشند و $a+b\geq 3$ آنگاه $a^2+b^2\gneqq a+b$». اگر در پرسش شما $a+b\geq 3$ آنگاه

$$\begin{array}{l} a+b\geq 3\Longrightarrow a^2+b^2\gneqq a+b\\ c+d=a^2+b^2,a^2+b^2\gneqq a+b\geq 3\Longrightarrow c+d> 3\Longrightarrow c^2+d^2\gneqq c+d\\ \therefore a+b=c^2+d^2\gneqq c+d=a^2+b^2\Longrightarrow a+b> a^2+b^2\text{ تناقض } \end{array}$$

پس حتما باید داشته‌باشیم $a+b\leq 2$. بنا به تقارن نتیجهٔ مشابه برای $c+d$. توجه کنید که اگر یکی از $a$ و $b$ عددی کوچکتر از $-1$ باشد یعنی $-2$ یا $-3$ و ... آنگاه $a^2+b^2$ بزرگتر یا مساوی ۴ می‌شود که تناقض با $c+d\leq 2$ می‌سازد. همینطور اگر یکی از $a$ و $b$ برابر با ۲ باشد آنگاه دوباره $a^2+b^2$ بزرگتر یا مساوی ۴ می‌شود و دوباره تناقض. پس برای $(a,b)$ تنها گزینه‌های ممکن عبارت‌اند از:

$$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(-1,0),(0,-1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1)$$

بعلاوه گزینه‌های $(-1,0)$ و $(0,-1)$ و $(-1,-1)$ نیز خودبه‌خود رد می‌شوند چون در ابتدا گفتیم که $a+b$ نامنفی می‌شود. پس گزینه‌های ممکن محدودتر نیز می‌شوند.

$$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(-1,1),(1,-1)$$

گزینه‌های $(-1,1)$ و $(1,-1)$ نیز رد می‌شوند چون جمع خودشان صفر می‌شود پس $c^2+d^2=0$ که نتیجه می‌دهد $c=d=0$ ولی در اینصورت $c+d=0$ که با $a^2+b^2=2$ برابر نمی‌شود. پس گزینه‌ها محدودتر هم می‌شوند.

$$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$$

برای $(c,d)$ هم همین گزینه‌ها را داریم. مشخص است که با انتخاب $(a,b)=(0,0)$، تنها گزینهٔ سازگار برای $(c,d)$ نیز $(0,0)$ می‌شود. با انتخاب $(a,b)=(1,1)$، تنها گزینهٔ سازگار برای $(c,d)$ برابر با $(1,1)$ است. و دو گزینهٔ $(0,1)$ و $(1,0)$ برای $(a,b)$ آزادانه دو گزینهٔ مشابه برای $(c,d)$ را لازم می‌شوند. پس تعداد کل چهارتایی‌های ممکن برابر با $1+1+2\times 2=6$ می‌شود.

Comments

@Elyas1 اگر $n$ یک عدد صحیح باشد آنگاه $n^2\geq n$ و اگر $n\geq 2$  آنگاه نتیجه می‌دهد $n^2\gneqq n$. آنگاه از فرض $a+b$ مثبت باشد و $a+b\geq 3$ نتیجه بگیرید که حداقل یکی از $a$ و $b$ بزرگتر یا مساوی ۲ است. پس در $a^2+b^2$ یکی اکیدا از توان یک‌اش بزرگتر و دیگری بزرگتر یا مساوی است. پس $a^2+b^2\gneqq a+b$ می‌شود که به دلیل مشابه در متن پاسخ به تناقض می‌خورید.
توجه کنید که اگر به جای ۳، ۲ می‌گذاشتیم دیگر نمی‌توانستیم با اطمینان بگوئیم حتما یکی بزرگتریامساوی ۲ است، چون حالت ۱+۱ هم ۲ می‌شود.

---

@AmirHosein بسیار عالی. اما ببخشید نماد $\gneqq$ با $\not \geq$ دقیقاً چه‌تفاوتی دارد؟

---

@Am.s نماد $\gneqq$ یعنی بزرگتر اکید باشد (تساوی رخ ندهد) و نماد $\not\geq$ یعنی بزرگتریامساوی نباشد، یا همان «نقیضِ بزرگتر یا مساوی»، چه زمانی این نقیض روی می‌دهد زمانی که بزرگتر یا مساوی رخ ندهد یعنی از سه حالتِ «بزرگتر اکید، تساوی، کوچکتر اکید» دو حالت نخست نباید رخ بدهد چون هر کدام از این دو حالت جزوی از بزرگتریامساوی هستند. پس $\not\geq$ در واقع با $\lneqq$ یا $>$ یکسان است.

---

@AmirHosein متشکرم. پس اینگونه که من متوجه‌شدم، یعنی نماد $\gneqq$ با $>$ خیلی تفاوتی ندارد و تقریباً یکسان است. درست متوجه‌شدم؟

---

@Am.s دقیقا یکی هستند با این تفاوت که در $\gneqq$ شما می‌خواهید به خواننده تأکید کنید که «توجه داشته باشید تأکید می‌کنم اکید! بدون تساوی!». گاهی برخی نویسنده‌ها (که تعدادشان کم است و هر چه زمان می‌گذرد هم کمتر می‌شوند)، نماد $>$ یا $\subset$ را با معنای $\geq$ و $\subseteq$ به کار می‌برند. ولی قاعدتا باید این قراردادشان را ابتدا اشاره کنند و سپس شروع به این استفاده به این نحو بکنند.

Answer 2

برای هر عدد صحیح n داریم
$$n^2 \ge n $$ تساوی وقتی درست است که $ n=1 or 0 $ بنابراین $$ a^2+b^2+c^2+d^2\ge a+b+c +d $$ تساوی وقتی درست است که هر کدام یا 0 یا 1 باشد $ a=b=c=d=1 or 0$ $$ (1,0,1,0),(1,0,0, 1),(0,1,1,0),(0,1,0,1) $$ بنابراین 6 حالت می باشه