به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
82 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

چند زوج $(x,y)$ از اعداد حقیقی در دستگاه معادلات زیر صدق می کند؟

\begin{align} 2y^2+2y+4x=x^2+xy+4\\ y^2+2x^2+2y= 5x+3xy+3 \end{align}
مرجع: المپیاد ریاضی دوره دوم متوسطه_مرحله اول_ سال 1399

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

احتمالا هدف این پرسش این بوده‌است که ببینند چه فردی پیرامون مقطع‌های مخروطی مطالعهٔ بیشتر داشته‌است. به هر حال شکل همگن کلی ضابطهٔ یک مقطع مخروطی یک چندجمله‌ای درجهٔ دوی دو متغیره است که در کتاب‌های هندسه‌تحلیلی دبیرستانی به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$$

شاید این را دیده باشید که اگر تعریف کنید $\Delta=B^2-4AC$ آنگاه داریم

  1. اگر $\Delta< 0$ آنگاه دایره، بیضی یا یک نقطه دارید.
  2. اگر $\Delta=0$ آنگاه سهمی، یک یا دو خط موازی دارید.
  3. اگر $\Delta>0$ آنگاه هذلولوی یا دو خط متقاطع دارید.

اما چگونه تشخیص داد که در هر یک از این سه حالت مقطع خم‌دار را دارید یا مقطع‌های بدون خم (نقطه و خط و دوخط). یک فرمول کمکی دیگر، فرمول $\Delta'=(AC-\frac{B^2}{4})F+\frac{BED-CD^2-AE^2}{4}$ است. اگر این مقدار صفر شود آنگاه با حالت‌های بدون خم روبرو هستید. هر دو ضابطهٔ شما (پس از به یک طرف آوردن دو سمت تساوی‌ها) دارای $\Delta>0$ و $\Delta'=0$ هستند پس هر دو به شکل دو خط متقاطع هستند. دو خط با معادلهٔ $ax+by+c=0$ و $a'x+b'y+c'=0$ در نظر بگیرید. معادلهٔ دوخط با هم برابر است با $(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0$ پس با ضرب کردن پرانتزها و سپس برابر قرار دادن با ضابطه‌های دو مقطع‌تان دو دستگاه دارای ۶ معادله ۶ مجهول خواهید بود. با حل آنها در واقع تجزیهٔ دو چندجمله‌ای درجهٔ دوتان را خواهید داشت که به شکل زیر خواهندشد.

$$\begin{array}{l} -x^2-xy+2y^2+4x+2y-4=-(x+2y-2)(x-y-2)\\ 2x^2-3xy+y^2-5x+2y-3=(2x-y+1)(x-y-3) \end{array}$$

اما توجه کنید که خط $x-y-2$ موازی خط $x-y-3$ است. پس این دو خط یکدیگر را قطع نمی‌کنند. پس به جای چهار نقطهٔ برخورد سه نقطهٔ برخورد دارید.

  1. برخورد $x+2y-2$ با $2x-y+1$.
  2. برخورد $x+2y-2$ با $x-y-3$.
  3. برخورد $x-y-2$ با $2x-y+1$.

این سه نقطه برابر هستند با $(0,1)$ و $(\frac{8}{3},\frac{1}{3})$ و $(-3,-5)$.

+1 امتیاز
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)

به نام خدا.

دو معادله را از هم کم می کنیم کرد:

$2y^2+2y+4x-y^2-2x^2-2y=x^2+xy+4-5x-3xy-3 \Longrightarrow y^2-3x^2+2xy+9x-1=0 \Longrightarrow (x+y)^2=4x^2-9x+1 \Longrightarrow y= \pm \sqrt{4x^2-9x+1} -x$

حال $y= \sqrt{4x^2-9x+1} -x$ را در معادله اول قرار می دهیم. به معادله زیر خواهیم رسید:

$ (\sqrt{4x^2-9x+1} )(5x-2)=10x^2-16x-2$

حال طرفین را به توان دو می رسانیم. محاسبات کمی طولانی می شود که در نهایت به معادله زیر خواهیم رسید:

$3x^3+x^2-24x=0 \Longrightarrow x(3x^2+x-24)=0$

که ریشه ها می شوند: $x_1=0 \space , x_2=-3\space , x_3= \frac{8}{3}$ می باشند. با قرار دادن آنها در دو معادله مسئله خواهیم داشت: $(0,1),(-3,-5),( \frac{8}{3} , \frac{1}{3} )$

توجه کنید که اگر قرار می دادیم $y= - \sqrt{4x^2-9x+1} -x$ در نهایت به همین نتیجه می رسیدیم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...