چطور می توان ریشه های معادله $3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0$ را بدست آورد؟

Question

تعداد ریشه‌های حقیقی معادلهٔ زیر را به‌دست آورید:

$$3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0$$

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

Comments

Danial Rube@ ضمن خوش آمدگویی ، جملات را تغییر شکل دهید.مثلا $- 3^{x+3}$ را می شود نوشت
 $- 3^3 \times 3^{x}=-27 \times 3^{x}$

Answer 1

به نام خدا

$$3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0$$

معادله را با تغییر شکل دادن جملات، می‌توان حل کرد. مثلاً، $3^{2x+2}$ را می‌توان به‌شکل $3^{2x} \cdot 3^2$ نوشت. به‌همین شکل، تمام جملات معادله را تغییر شکل می‌دهیم:

$$(3^2 \cdot 3^{2x})-(3^3 \cdot 3^x)-3^x+3=0$$

سپس:

$$3^2 \cdot (3^x)^2-3^3 \cdot 3^x-3^x+3=0$$

و بعد تغییر متغیر $t=3^x$ را اعمال می‌کنیم:

$$9t^2-27t-t+3=0$$

در نهایت به یک معادلهٔ درجهٔ دو می‌رسیم:

$$9t^2-28t+3=0$$

جواب‌های این معادلهٔ درجهٔ دو را به‌دست می‌آوریم. جواب‌های آن برابر هستند با $\frac{1}{9}$ و $3$. که باید این دو را برابر با $3^x$ قرار دهیم تا جواب‌های معادلهٔ اصلی به‌دست آید:

$$\frac{1}{9}=3^x \Longrightarrow x=-2$$

$$3=3^x \Longrightarrow x=1$$

بنابراین در نهایت جواب‌های معادلهٔ

$$3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0$$

برابر شد با $-2$ و $1$.