خب ابتدا ضربها را انجام داده و سپس سادهسازیها تا به شکل استاندارد این چندجملهای برسیم که برابر خواهد بود با:
$$x^6+x^5+x^4-2x^3-2x^2-2x+1$$
چند روش متفاوت را پیش میرویم.
ایدهٔ یکُم: یافتنِ ریشههای گویا به روشی که در پست دیگری توضیح دادهشدهاست (https://math.irancircle.com/19321/#a19361): چون ضریبِ پیشرو و ضریبِ ثابت هر دو ۱ هستند پس تنها عددهای گویایی که ممکن است ریشهٔ این چندجملهای باشند یک و منفی یک هستند که اگر جایگذاری کنید هیچکدام آن را صفر نمیکنند. پس این چندجملهای هیچ ریشهٔ گویایی ندارد! توجه کنید که تعداد ریشههای گویا یک کران پائین برای تعداد ریشههای حقیقی است پس از اینکه هیچ ریشهٔ گویایی نداریم چیز خاصی پیرامون تعداد ریشههای حقیقی به دستمان نیامد.
ایدهٔ دوم: به کار گیریِ قانونِ دکارت. این گزاره میگوید که تعدادِ ریشههای حقیقیِ مثبتِ یک چندجملهایِ تکمتغیره برابر با تعداد تغییر علامتهای ضریبهای این چندجملهای (زمانی که از درجمهٔ بزرگ به درجهٔ کوچک یا برعکس، ولی نه ترتیبی غیر از این دو حرکت میکنیم) منهای یک عدد زوج است. خب در این چندجملهای ضریب پیشرو مثبت یک، سپس مثبت یک، سپس مثبت یک، سپس منفی دو، پس یک تغییر علامت تا اینجا، سپس منفی دو، سپس منفی دو، سپس مثبت یک، پس دومین تغییر علامت. در نتیجه دو حالت وجود دارد یا ۲ تا ریشهٔ حقیقی مثبت داریم یا هیچی. به روشنی صفر ریشه نیست چون با جایگذاری چندجملهای صفر نمیشود. برای شمردن ریشههای منفی هم کافی است $x$ را با $-x$ جایگزین کنیم و سپس چندجملهای جدید را نگاه کنیم که این چندجملهایِ جدید برابر است با
$$x^6-x^5+x^4+2x^3-2x^2+2x+1$$
تعداد تغییر علامتها این بار ۴ است. پس ۳ حالت داریم. تعداد ریشههای حقیقیِ منفی یا ۴ یا ۲ یا ۰ تا است. پس در کل با در نظر گرفتن حالتهای ممکن برای تعداد ریشههای مثبت، صفر، منفی تعداد کل ریشههای حقیقی یکی از چهار عدد زیر میتواند باشد ۶، ۴، ۲، ۰. پس درست است که تعداد دقیقی ریشههای حقیقی را نیافتیم ولی از کل اعداد حسابی مجموعهٔ نامزدهای ممکن را به چهار عدد کاهش دادیم. یا اگر قضیهای که تعداد ریشههای یک چندجملهای تکمتغیره از درجهاش بیشتر نمیتواند باشد را در نظر بگیرید، آنگاه از مجموعهٔ هفتعضوی به مجموعهٔ چهارعضوی کاهش دادیم. یعنی تنها با نگاه کردن به علامت ضریبها توانستیم دریابیم که این چندجملهای نمیتواند دقیقا ۱ یا دقیقا ۳ یا دقیقا ۵ ریشه داشته باشد.
ایدهٔ سوم: به کار گیریِ قضیهٔ استورم که در پست دیگری توضیح دادهشدهاست (https://math.irancircle.com/2104/#a10301). میتوانید دستی انجام دهید، مدتی زمان میبرد ولی نه خیلی زیاد. من در اینجا برایتان کُدِ میپل آن را میگذاریم.
p[ 1 ] := x^6 + x^5 + x^4 - 2*x^3 - 2*x^2 - 2*x + 1;
p[ 2 ] := diff( p[1], x );
p[ 3 ] := -rem( p[1], p[2], x );
p[ 4 ] := -rem( p[2], p[3], x );
p[ 5 ] := -rem( p[3], p[4], x );
p[ 6 ] := -rem( p[4], p[5], x );
p[ 7 ] := -rem( p[5], p[6], x );
< seq( limit( p[i], x = -infinity ), i = 1 .. 7 ) >;
< seq( limit( p[i], x = infinity ), i = 1 .. 7 ) >;
دنبالهٔ علامتهای نخست در $x\to-\infty$ برابر است با $(+,-,-,+,+,-,+)$ که چهار تغییر علامت دارد و دنبالهٔ علامتهای پسین در $x\to\infty$ برابر است با $(+,+,-,-,+,+,+)$ که دو تغییر علامت دارد، پس تعداد ریشههای حقیقیِ بین منفیبینهایت و مثبتبینهایت که یعنی کل ریشههای حقیقی برابر خواهد بود با چهار منهای دو، یعنی ۲.
