به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
211 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Mmmdi (32 امتیاز)
ویرایش شده توسط Mmmdi

ریشه‌های حقیقی معادلهٔ $x(x^3–2)(x^2+x+1)+1=0$ را بدست آورید.

تلاش من: با ضرب‌های خاصیت پخشی، چندجمله‌ای درجهٔ ۶ بدست می‌آید که به نتیجه‌ای نرسید. یا با جابجایی ۱ و مثبت بودن عبارت $x^2+x+1$ می‌شود گفت عبارت $x(x^3–2)$ منفی بوده و محدوده‌ای برای x بدست می‌آید.

توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+2
@Mmmdi تلاشتان را کامل‌تر بنویسید. برای نمونه چندجمله‌ای درجهٔ ۶ تان را چه بدست آوردید. ما خودمان می‌توانیم محاسبه کنیم ولی هدف این است که اشتباه‌های شما مشخص شود و راهنمایی مناسب بگیرید و در مورد چیزی که ننوشتید بررسی صحت و اشتباه خاصی نمی‌شود کرد!
در مورد جملهٔ آخرتان، زمانی که ۱ را به سمت دیگر می‌برید، منفی یک می‌شود. چون $x^2+x+1$ مثبت است، پس $x(x^3-2)$ باید منفی باشد نه اینکه نامنفی.
در آخر نیز همیشه عنوان پرسش را تا جایی که امکان دارد خاص‌تر بنویسید نه یک چیز کلی «ریشهٔ معادله بدست ‌بیاورید» یک عنوان کلی است که بر روی تعداد بسیار زیادی از پرسش‌های این سایت می‌شود گذاشت. در نتیجه پرسش شما را به طور یکتا از سایر پرسش‌ها متمایز نمی‌کند و خواننده نمی‌فهمد که شما یک معادلهٔ خاص دارید نه اینکه هر معادله‌ای. عبارت معادله خیلی طول زیادی ندارد که دلیل ننوشتنش در عنوان بشود. پس باید در عنوان این معادله را تکرار کنید مانند ویرایشی که کردم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
انتخاب شده توسط Mmmdi
 
بهترین پاسخ

خب ابتدا ضرب‌ها را انجام داده و سپس ساده‌سازی‌ها تا به شکل استاندارد این چندجمله‌ای برسیم که برابر خواهد بود با:

$$x^6+x^5+x^4-2x^3-2x^2-2x+1$$

چند روش متفاوت را پیش می‌رویم.

ایدهٔ یکُم: یافتنِ ریشه‌های گویا به روشی که در پست دیگری توضیح داده‌شده‌است (https://math.irancircle.com/19321/#a19361): چون ضریبِ پیشرو و ضریبِ ثابت هر دو ۱ هستند پس تنها عددهای گویایی که ممکن است ریشهٔ این چندجمله‌ای باشند یک و منفی یک هستند که اگر جایگذاری کنید هیچکدام آن را صفر نمی‌کنند. پس این چندجمله‌ای هیچ ریشهٔ گویایی ندارد! توجه کنید که تعداد ریشه‌های گویا یک کران پائین برای تعداد ریشه‌های حقیقی است پس از اینکه هیچ ریشهٔ گویایی نداریم چیز خاصی پیرامون تعداد ریشه‌های حقیقی به دستمان نیامد.

ایدهٔ دوم: به کار گیریِ قانونِ دکارت. این گزاره می‌گوید که تعدادِ ریشه‌های حقیقیِ مثبتِ یک چندجمله‌ایِ تک‌متغیره برابر با تعداد تغییر علامت‌های ضریب‌های این چندجمله‌ای (زمانی که از درجمهٔ بزرگ به درجهٔ کوچک یا برعکس، ولی نه ترتیبی غیر از این دو حرکت می‌کنیم) منهای یک عدد زوج است. خب در این چندجمله‌ای ضریب پیشرو مثبت یک، سپس مثبت یک، سپس مثبت یک، سپس منفی دو، پس یک تغییر علامت تا اینجا، سپس منفی دو، سپس منفی دو، سپس مثبت یک، پس دومین تغییر علامت. در نتیجه دو حالت وجود دارد یا ۲ تا ریشهٔ حقیقی مثبت داریم یا هیچی. به روشنی صفر ریشه نیست چون با جایگذاری چندجمله‌ای صفر نمی‌شود. برای شمردن ریشه‌های منفی هم کافی است $x$ را با $-x$ جایگزین کنیم و سپس چندجمله‌ای جدید را نگاه کنیم که این چندجمله‌ایِ جدید برابر است با

$$x^6-x^5+x^4+2x^3-2x^2+2x+1$$

تعداد تغییر علامت‌ها این بار ۴ است. پس ۳ حالت داریم. تعداد ریشه‌های حقیقیِ منفی یا ۴ یا ۲ یا ۰ تا است. پس در کل با در نظر گرفتن حالت‌های ممکن برای تعداد ریشه‌های مثبت، صفر، منفی تعداد کل ریشه‌های حقیقی یکی از چهار عدد زیر می‌تواند باشد ۶، ۴، ۲، ۰. پس درست است که تعداد دقیقی ریشه‌های حقیقی را نیافتیم ولی از کل اعداد حسابی مجموعهٔ نامزدهای ممکن را به چهار عدد کاهش دادیم. یا اگر قضیه‌ای که تعداد ریشه‌های یک چندجمله‌ای تک‌متغیره از درجه‌اش بیشتر نمی‌تواند باشد را در نظر بگیرید، آنگاه از مجموعهٔ هفت‌عضوی به مجموعهٔ چهارعضوی کاهش دادیم. یعنی تنها با نگاه کردن به علامت ضریب‌ها توانستیم دریابیم که این چندجمله‌ای نمی‌تواند دقیقا ۱ یا دقیقا ۳ یا دقیقا ۵ ریشه داشته باشد.

ایدهٔ سوم: به کار گیریِ قضیهٔ استورم که در پست دیگری توضیح داده‌شده‌است (https://math.irancircle.com/2104/#a10301). می‌توانید دستی انجام دهید، مدتی زمان می‌برد ولی نه خیلی زیاد. من در اینجا برایتان کُدِ میپل آن را می‌گذاریم.

p[ 1 ] := x^6 + x^5 + x^4 - 2*x^3 - 2*x^2 - 2*x + 1;
p[ 2 ] := diff( p[1], x );
p[ 3 ] := -rem( p[1], p[2], x );
p[ 4 ] := -rem( p[2], p[3], x );
p[ 5 ] := -rem( p[3], p[4], x );
p[ 6 ] := -rem( p[4], p[5], x );
p[ 7 ] := -rem( p[5], p[6], x );
< seq( limit( p[i], x = -infinity ), i = 1 .. 7 ) >;
< seq( limit( p[i], x = infinity ), i = 1 .. 7 ) >;

دنبالهٔ علامت‌های نخست در $x\to-\infty$ برابر است با $(+,-,-,+,+,-,+)$ که چهار تغییر علامت دارد و دنبالهٔ علامت‌های پسین در $x\to\infty$ برابر است با $(+,+,-,-,+,+,+)$ که دو تغییر علامت دارد، پس تعداد ریشه‌های حقیقیِ بین منفی‌بینهایت و مثبت‌بینهایت که یعنی کل ریشه‌های حقیقی برابر خواهد بود با چهار منهای دو، یعنی ۲.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...