چگونه می توان حاصل جمع یا حاصل ضرب ریشه های یک برابری چندجمله ای را بدون حل آن بدست آورد؟

Question

چگونه می‌توان حاصل‌جمع یا حاصل‌ضرب ریشه‌های یک برابری از نوع چندجمله‌ای را بدون حل آن بدست آورد؟

برای مثال برابری درجهٔ چهار زیر را در نظر بگیرید ($x$، مجهولِ برابری و $p$، $q$ و $r$ ضرایب برابری هستند):

$$x^4+px^2+qx+r=0$$

Answer 1

به نام خدا.

شما باید از قضیه ویت استفاده کنید. در وبلاگ زیر اثبات و تعمیم این قضیه وجود دارد. https://math.irancircle.com/blog/254

مثلاً در چندجمله‌ای که در سوال قرار داده‌اید، با فرض اینکه $a_1,a_2,a_3,a_4$ ریشه‌های این چندجمله‌ای است داریم:

\begin{align} 0 &= (-1) (a_1+a_2+a_3+a_4\\ p &= (1)(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4)\\ q &= (-1)(a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4)\\ r &= (1)(a_1a_2a_3a_4) \end{align}