با کمک دنبالهٔ استورم تعداد ریشه های چندجمله ای $x^3-2x^2+x$ در بازهٔ $[-1,2]$ را بیابید.

Question

با استفاده از دنبالهٔ استورم تعداد ریشه‌های حقیقی چندجمله‌ایِ $p(x)=x^3-2x^2+x$ در بازهٔ $[-1,2]$ را بیابید.

Comments

شما باید اول روی ریاضی کلیک کنید(یا ctrl و M بزنید) بعد داخل دو تا علامت دلار $ فرمول رو بنویسید.
در پیش نمایش فرمول رو هرجور ببینید همون فرستاده میشه.

---

لطفا از امکانات تایپ استفاده کنید.توو همه ی سوالات,دوستان چندین بار تاکید کردن که اعضا و مهمانان محترم سایت به تایپ ریاضی دقت کنند.

---

دنباله استورم چیه؟ میشه بیشتر توضیح بدید؟

---

@fardina و @رها عبارتی که بیرون دلار و غیره گذاشته‌اند را اگر در TeX اجرا کنید می‌بینید به جای پرانتزها افقی‌شده‌شان را با smile و frown گذاشته‌اند و به جای مساوی از خط عمودی استفاده کردهذاست. پرسش‌شان نیز هیچ ربطی به جبرخطی ندارد و جزو مباحث جبر است. منظورشان از دنباله‌های استورم نیز دنبالهٔ استورم بوده‌است.
پرسش را به جایشان ویرایش کردم.

Answer 1

قضیهٔ استورم برای یافتن تعداد ریشه‌های حقیقی یک چندجمله‌ای تک‌متغیره در یک بازه (که می‌تواند ابتدا یا انتهای بازه‌ها بینهایت نیز باشند) استفاده می‌شود. نخست یک دنباله از چندجمله‌ای‌ها به روش زیر می‌سازید. عضو نخست خود چندجمله‌ای اصلی‌تان است. عضو دوم مشتق آن است، عضو سوم منفی باقیماندهٔ تقسیم عضو یکم به عضو دوم است، عضو چهارم منفی باقیماندهٔ عضو دوم به عضو سوم است و همین‌گونه ادامه می‌دهید تا نخستین باقیماندهٔ صفر. چند درجهٔ چندجمله‌ای‌تان متناهی است این فرآیند در متناهی گام به پایان می‌رسد. سپس ابتدا و انتهای بازه‌تان را در این دنباله جایگذاری می‌کنید. تعداد تغییرعلامت‌هایی که در علامت اعضای متوالی‌تان روی می‌دهد را می‌نویسید. سپس تعداد تغییر علامت‌ها در ابتدا پ تعداد تغییرعلامت‌ها در انتهای بازه‌تان را از هم کم می‌کنید و قدرمطلق حاصل برابر با تعداد ریشه‌های‌تان در این بازه است. در زیر این کار را با نرم‌افزار Maple انجام داده‌ایم. کار سختی نیست و دستی نیز می‌توانید مشتق و باقیمانده‌ها را محاسبه کنید.

همان‌گونه که می‌بینید در منفی یک دو بار تغییر علامت داریم (منفی به مثبت و مثبت به منفی) اما در دو هیچ تغییر علامتی نداریم. پس پاسخ دو منهای صفر یعنی دو می‌شود.

بعلاوه در انتها با دستور تعبیه شده در خود نرم‌افزار Maple برای حاصل آخر قضیهٔ Sturm نتیجه‌مان را امتحان کردیم.