ابتدا هر متغیر را با متغیرهای متشابه خود در کنار هم گردآوری می کنیم. داریم:
$$x^2-4x+y^2+6y+z^2-8z+29=0$$
حال سعی می کنیم جملات را بصورت اتحاد در آوریم. می دانیم برای اینکه بتوان عبارت $x^2+bx$ رابصورت اتحاد بنویسیم بایستی مربع نصف ضریب $x$ را اضافه و کم کنیم یعنی:
$$x^2+bx=x^2+bx+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2=(x+(\frac{b}{2}))^2-(\frac{b}{2})^2$$
پس میتوانیم بنویسیم:
$$[x^2-4x+4-4]+[y^2+6y+9-9]+[z^2-8z+16-16]+29=0
\Longrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2-29+29=0 $$ $$ (x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=0$$
از طرفی واضح است هر عبارت مجموع خود نامنفی است و مجموع جملات نامنفی زمانی صفر است که هر جمله صفر یاشد. پس بایستی:
$$(x-2)^2=0 \Longrightarrow x=2$$
$$(y+3)^2=0 \Longrightarrow y=-3$$
$$(z-4)^2=0 \Longrightarrow z=4$$
