با کمک اتحاد مربع مقدارهای $x$ و $y$ و $z$ را به گونه ای بیابید که $x^2+y^2+z^2-4x+6y-8z+29=0$.

Question

مقدارهای $x$ و $y$ و $z$ را به گونه‌ای بیابید که برابریِ زیر برقرار شود. راهنمایی: از اتحاد مربع استفاده کنید.

$$x^2+y^2+z^2-4x+6y-8z+29=0$$

Answer 1

ابتدا هر متغیر را با متغیرهای متشابه خود در کنار هم گردآوری می کنیم. داریم:

$$x^2-4x+y^2+6y+z^2-8z+29=0$$ حال سعی می کنیم جملات را بصورت اتحاد در آوریم. می دانیم برای اینکه بتوان عبارت $x^2+bx$ رابصورت اتحاد بنویسیم بایستی مربع نصف ضریب $x$ را اضافه و کم کنیم یعنی:

$$x^2+bx=x^2+bx+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2=(x+(\frac{b}{2}))^2-(\frac{b}{2})^2$$

پس میتوانیم بنویسیم:

$$[x^2-4x+4-4]+[y^2+6y+9-9]+[z^2-8z+16-16]+29=0 \Longrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2-29+29=0$$ $$(x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=0$$ از طرفی واضح است هر عبارت مجموع خود نامنفی است و مجموع جملات نامنفی زمانی صفر است که هر جمله صفر یاشد. پس بایستی: $$(x-2)^2=0 \Longrightarrow x=2$$

$$(y+3)^2=0 \Longrightarrow y=-3$$

$$(z-4)^2=0 \Longrightarrow z=4$$