اگر بین $x$ و $y$ رابطه های $y^3-3yx^2=10$ و $x^3-3xy^2=30$ برقرار باشند، مقدار $x^2+y^2$ را بیابید.

Question

اگر بین $x$ و $y$ رابطه‌های زیر بر قرار باشند، آنگاه مقدار $x^2+y^2$ را بیابید.

$$x^{3} -3x y^{2} =30\,,\;y^{3} -3yx^{2} =10$$

طرفین تساوی با هم جمع و تفریق کردم تا به صورت اتحاد مکعب دوجمله‌ای تبدیل کنم. اما موفق نشدم. در علامت‌ها مشکل ایجاد می‌شود.

Comments

@Amir1400 پاسخ نهایی ۱۰ می‌شود که من با پایه‌های گروبنر بدست آوردم ولی مطمئنا این شیوه‌ای نیست که شما دنبالش هستید. یک ایدهٔ دیگر این است که این دستگاه دومعادله-دومجهول را به یک دستگاه دومعادله-دومجهول دیگر تبدیل کنید که پاسخ‌هایشان در تناظر یک به یک باشند. اگر قرار دهید $s=x+y$ و $p=xy$ آنگاه جمع دو معادله‌تان به شما برابریِ $s^3-6ps=40$ را می‌دهد که درجه‌یک بر حسب $p$ است پس می‌توان آن را حل کرد و از $p$ رها شد. خواهید داشت $p=\frac{s^3-40}{6s}$. ولی هنوز نیاز دارید که یک معادلهٔ دیگر بر حسب $s$ و $p$ از روی دو معادلهٔ اولیهٔ پرسش بنویسید که سپس با جایگذاریِ رابطه‌ای که برای $p$ بر حسب $s$ پیدا کردیم آن را تبدیل به یک‌معادله-یک‌مجهول کنید و سپس مقدار $s$ را بدست آورید. آنگاه از مقدار $s$، مقدار $p$ هم با رابطهٔ بالایمان معلوم خواهدبود. در آخر $x^2+y^2$ که دنبالش هستید برابر با $s^2-2p$ h است.

---

@AmirHosein معادله دوم را چگونه بدست آوریم؟

Answer 1

• طرفین به توان 2 می رسانیم بعد حمع می کنیم $$x^6-6x^4y^2+9x^2 y^4=900$$ $$y^6-6y^4x^2 +9y^2 x^4 =100$$ طرفین جمع می کنیم $$x^6+3x^4y^2+3x^2 y^4+y^4=1000$$ $$(x^2 +y^2) ^3 =10^3 \Rightarrow x^2 +y^2=10$$