اگر $x$ و $y$ و $z$ سه عدد طبیعی باشند و داشته باشیم $x^2+y+z=60$ و$x+y^2+z=72$. آنگاه مقدار $xyz$ را بیابید.

Question

اگر $x,y,z$ سه عدد طبیعی باشند و $60=x^{2}+y+z$ باشد و $x+y^2+z=72$ باشد. مقدار $xyz$ چقدر می‌باشد؟

احتمالا باید با اویلر حل بشه اما چیزی به ذهنم نمیرسه

Comments

@Alireza2006 به جای رفع‌کردن شرط تعداد حداقل کاراکتر در متن پرسش با نقطه‌چین، به تلاش یا ابهام و ایهام یا مشکل‌تان اشاره کنید. مثلا بنویسید که پیش از گذاشتن این پرسش در سایت چه چیزهایی را امتحان کردید و به پاسخ نرسیدید.

Answer 1

اگر طرفین تساوی را از هم کم کنیم:

$$y^2-x^2-y+x=12 \Rightarrow (y-x)(y+x-1)=12$$

اگر فرض بگیریم که $y-x=m$ و $y+x-1=n$، آنگاه از حل دستگاه داریم:

$$y=\frac{m+n+1}{2}\text{ و }x=\frac{n-m+1}{2}$$

با توجه به فرض مسأله $m$ و $n$ منفی نخواهند بود و $m+n$ فرد خواهد بود و با توجه به حاصل 12 دو حالت ممکن است:

$$\color{red}{x=6 ,y=7 \Rightarrow z=17 \Rightarrow xyz=714}$$ و دسته دیگر

$$\color{red}{x=1 ,y=4 \Rightarrow z=55 \Rightarrow xyz=220}$$

Comments

@good4us در فرض پرسش گفته شده‌است که $x$ و $y$ و $z$ طبیعی هستند. اینکه $x+y-1$ حداقل ۱ و درنتیجه نامنفی است را می‌توان از این فرض نتیجه گرفت ولی نامنفی بودنِ $y-x$ را چگونه نتیجه گرفته‌اید؟