به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
47 بازدید
در دبیرستان توسط Ghanoon (91 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

مقدار $z$ را مطابق روابط زیر به دست آورید.

\begin{cases}x+y=z^2\\ \ \frac{ \frac{x}{y} }{ -4}= \frac{ \frac{-3}{z} }{5} \end{cases}

کاری که انجام دادم تا حداقل یک متغیر از معادله حذف شود نوشتن $\frac{x}{y} =\frac{12z}{5} $ است و سپس با ترکیب در مخرج و استفاده از رابطهٔ اول به تساوی زیر رسیدم:

$ \frac{x}{z^2} = \frac{12z}{12z+5} $

اما بعد از این نتوانستم پیشروی مفیدی کنم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
انتخاب شده توسط Ghanoon
 
بهترین پاسخ

زمانی که دو برابری ولی سه مجهول دارید، نباید انتظار داشته‌باشید که حتما فقط به یک پاسخ یکتا، یک نقطه، برسید. مجموعه پاسخ‌های $x+y-z^2=0$ یک رویهٔ دوبعدی شبیه به سهمی‌گون می‌شود. شکل زیر را ببینید.

توضیحات تصویر

مجموعه پاسخ‌های $12y-5xz=0$ با شرطِ $y,z\neq 0$ نیز برابر با رویهٔ دوبعدی در شکل زیر است که یک نقطه (مبدأ) را از آن برداشته‌باشید.

توضیحات تصویر

اکنون مجموعه پاسخ‌های دستگاه دو برابری-سه‌ مجهولی‌تان برابر با اشتراک این دو رویه است که یک نقطه نمی‌شود، بلکه یک خم ناهمبند (دو خم همبند) زیر می‌شود.

توضیحات تصویر

اگر دوست دارید این اشتراک را بهتر ببیندی می‌توانید دو رویه را با هم نمایش دهید.

توضیحات تصویر

پس نمی‌توانید بگوئيد «$z$ چند است؟» زمانی می‌توانید این را بگوئید که تنها یک مقدار برای $z$ ممکن باشد. ثابت می‌کنیم که $z$ هر مقداری به جز صفر می‌تواند باشد. علت حذف کردنِ صفر در مخرج بودن در برابریِ دوم دستگاه است. اما چرا هر مقدار دیگری می‌تواند باشد؟ توجه کنید که از یک شکل که در ناحیهٔ محدودی کشیده شده‌است نمی‌توان نتیجه در مورد کل فضای بیکران گرفت، بلکه تنها می‌توان ایده گرفت. به هر حال زمانی که دو برابری را ساده و $y$ را حذف می‌کنیم به $x+\frac{5}{12}xz-z^2=0$ می‌رسیم. این یک برابریِ درجه دو بر حسبِ $z$ است. مقدارِ $z$ بر حسبِ $x$ برابر با

$$\frac{\frac{5}{12}x\pm\sqrt{(\frac{5}{12}x)^2+4x}}{2}$$

می‌شود که تقریبی از آن $\frac{\pm\sqrt{4x}}{2}$ یعنی $\pm\sqrt{x}$ می‌شود. این یعنی به ازای هر مقدارِ دلخواهی از $x$ (غیر از صفر) انتخابی برای مقدارِ $y$ می‌توان یافت که مقدارِ $z$ تقریبا برابر با $\sqrt{x}$ و یا $-\sqrt{x}$ شود، پس با افزایش $x$ می‌توان کاری کرد که $z$ هر عدد حقیقیِ ناصفری را اتخاذ کند. برای نمونه خم قرمزرنگ بالا را اگر در بازهٔ $-100\leq x\leq 100$ و $-1000\leq y\leq 1000$ نگاه کنید، می‌بینید که $z$های ممکن تمام بازهٔ $[-10,10]$ را پوشش می‌دهند.

توضیحات تصویر

توسط Ghanoon (91 امتیاز)
+1
خیلی ممنون از توضیحاتتون. کامل و عالی بودن. فقط برای رسم در فضای سه بعد چه پیشنهادی می کنید که بهترین پلتفورم باشه؟
توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
@Ghanoon من چون دسترسی به نرم‌افزار میپل دارم از نرم‌افزار میپل استفاده کردم ولی احتمالا افرادی که داخل ایران هستند به خاطر تحریم‌ها دسترسی به نرم‌افزارهایی مانند میپل نداشته‌باشند یا شاید برایشان هزینه‌بر باشد. اگر دسترسی به نرم‌افزارهای پولی دارید، متمتیکا ترسیم‌های بهتری از میپل دارد ولی خب کار کردن با میپل ساده‌تر است. متلب هم ترسیم دارد. اما نرم‌افزارهای رایگان هم زیاد هست، جئوجبرا، سیج، یا حتی می‌توانید با زبان‌های برنامه‌نویسی مانند پایتون یا جولیا نیز ترسیم انجام دهید. در همین سایت چند پست و بلاگ پیرامون ترسیم وجود دارد. می‌توانید جستجو کنید. اگر ترسیم شکل خاصی مدنظرتان است و نمی‌دانید چگونه آن را انجام دهید می‌توانید در قالب پرسش در سایت ارسال کنید تا دوستان پاسخ دهند و در متن پرسش اشاره کنید که دسترسی به کدام یک از این ابزارها دارید تا با همان ابزار روش ترسیمش را بگویند.
توسط Ghanoon (91 امتیاز)
خیلی ممنونم از راهنمایی هاتون. حتما به مشکلی برخوردم کمک میگیرم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...