به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
127 بازدید
در دبیرستان توسط Amir1400 (92 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر بین $x$ و $y$ رابطه‌های زیر بر قرار باشند، آنگاه مقدار $x^2+y^2$ را بیابید.

$$x^{3} -3x y^{2} =30\,,\;y^{3} -3yx^{2} =10$$

طرفین تساوی با هم جمع و تفریق کردم تا به صورت اتحاد مکعب دوجمله‌ای تبدیل کنم. اما موفق نشدم. در علامت‌ها مشکل ایجاد می‌شود.

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+2
@Amir1400 پاسخ نهایی ۱۰ می‌شود که من با پایه‌های گروبنر بدست آوردم ولی مطمئنا این شیوه‌ای نیست که شما دنبالش هستید. یک ایدهٔ دیگر این است که این دستگاه دومعادله-دومجهول را به یک دستگاه دومعادله-دومجهول دیگر تبدیل کنید که پاسخ‌هایشان در تناظر یک به یک باشند. اگر قرار دهید $s=x+y$ و $p=xy$ آنگاه جمع دو معادله‌تان به شما برابریِ $s^3-6ps=40$ را می‌دهد که درجه‌یک بر حسب $p$ است پس می‌توان آن را حل کرد و از $p$ رها شد. خواهید داشت $p=\frac{s^3-40}{6s}$. ولی هنوز نیاز دارید که یک معادلهٔ دیگر بر حسب $s$ و $p$ از روی دو معادلهٔ اولیهٔ پرسش بنویسید که سپس با جایگذاریِ رابطه‌ای که برای $p$ بر حسب $s$ پیدا کردیم آن را تبدیل به یک‌معادله-یک‌مجهول کنید و سپس مقدار $s$ را بدست آورید. آنگاه از مقدار $s$، مقدار $p$ هم با رابطهٔ بالایمان معلوم خواهدبود. در آخر $x^2+y^2$ که دنبالش هستید برابر با $s^2-2p$ h است.
توسط Pk123 (2 امتیاز)
+1
@AmirHosein معادله دوم را چگونه بدست آوریم؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط amir7788 (1,135 امتیاز)
انتخاب شده توسط Amir1400
 
بهترین پاسخ
  • طرفین به توان 2 می رسانیم بعد حمع می کنیم $$x^6-6x^4y^2+9x^2 y^4=900 $$ $$y^6-6y^4x^2 +9y^2 x^4 =100 $$ طرفین جمع می کنیم $$x^6+3x^4y^2+3x^2 y^4+y^4=1000$$ $$(x^2 +y^2) ^3 =10^3 \Rightarrow x^2 +y^2=10$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...