اگر $P(x)$ چند جمله ای درجه 4 باشد، با برقراری شرایط فوق الف) باقیمانده آن را بر $x^2-5x+5$ و ب)ریشه های $P(x)=x^2+5$ را بیابید

Question

اگر $P(x)$ چند جمله ای درجه 4 باشد، که باقیمانده آن بر $$x-1 , x-2 , x-3 , x-4$$ به ترتیب دو، پنج و ده و هفده باشد و عرض از مبدا آن 13 باشد،

الف) باقیمانده آن را بر $x^2-5x+5$ بیابید.

ب) ریشه های $P(x)=x^2+5$ را بیابید

Answer 1

چند جمله ی درجه 4 به صورت زیر می نویسیم $$p(x) =ax(x-1)(x-2)(x-3)+bx(x-1)(x-2)+cx(x-1)+dx+13 $$ در نتیجه خواهیم داشت $$p(1)=d+13=2 \rightarrow d=-11$$ $$p(2)=2c+2d+13=5 \rightarrow c=7$$ $$p(3)=6b+6c+3d+13=10\rightarrow b=-2 $$ $$p(4)=24a+24b+12c+4d+13=17 \rightarrow a= \frac{1}{2} $$ بنابراین p بعد از ساده کردن داریم $$p(x) = \frac{1}{2} x^4-5x^3+ \frac{37}{2} x^2-25x+13 $$ چند جمله ی بدست آمد، ادامه کار به عهده خودتان واگذار می کنم.