به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
174 بازدید
در دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (693 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

آیا راهی هست که بدون تجزیه‌کردن، ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای تک‌متغیره با ضریب‌های صحیح را بدست آورد؟

برای نمونه با فرض اینکه حداقل یک ریشهٔ گویا برای معادله زیر وجود دارد، بدون تجزیه چگونه می‌توان آن ریشه را بدست آورد؟

$$2x^{5}-x^{4}+4x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$$

تلاش خودم: در جایی دیده بودم که اگر تجزیه ضریب ثابت انتهای معادله بعنوان صورت یعنی $ \pm 1$ و تجزیه ضریب بزرگترین توان $x$ یعنی $ \pm2$ و $ \pm 1$ را بصورت مخرج عدد گویا بنویسیم، آن ریشه را در میان آنها می‌توان یافت. یعنی ریشه گویای عبارت فوق یکی از موارد زیر است.

$x=\pm\frac{1}{1}؛x=\pm\frac{1}{2}$

چون اثباتی براش ندارم، بصورت سؤال مطرح کردم.

توسط Elyas1 (1,221 امتیاز)
+2
با فاکتور گرفتن که راحت حل می شود. ولی فکر کنم قضیه ویت بتواند کمکتان کند. آیا آن را امتحان کرده اید؟
توسط ناصر آهنگرپور (693 امتیاز)
+1
@Elyas1
با درود. فاکتورگیری بنوعی تجزیه حساب میشه. ولی از قضیه ویت اطلاعی ندارم. توضیحشو برام بفرستید ممنون میشم.
توسط Elyas1 (1,221 امتیاز)
+1
@ناصر آهنگرپور برای توضیح قضیه ویت بلاگی ایجاد می کنم، آن را مطالعه کنید
توسط ناصر آهنگرپور (693 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@Elyas1 قضیه ویت را دیشب تو اینترنت دیدم. مطمئن نیستم بدرد این سؤال بخوره. ولی با جستجوی اینترنتی دیشب به یک نتیجه رسیدم و آن اینکه قضیه ای در جبر مقدماتی با اثباتش وجود داره بنام صفرهای گویای چندجمله ایها یا (rational zeros of polynomials) که درکمال حیرت نتونستم تو کتابهای درسی پیداش کنم. باوجود اینکه نقش اساسی در فهم قضیه ریشه انتگرال با لم گاوس داره، حتی توی ویکیپدیای فارسی هم وجود نداره. ولی توی کتابهای پیشدانشگاهی خارجی وجود داره. لینک ویکیپدیای انگلیسی و مرجع موجود برای این مطلب رو براتون میفرستم. ضمناً از وقت باارزشی که برای این مطلب گذاشتید و توجهتون کمال سپاس را دارم. بلاگ را هم حتماً خواهم دید. برایتان آرزوی موفقیت دارم..

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem

و کتاب precalculus mathematics for calculus اثر James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson نشر cengage learning  درسال ۲۰۱۵ - صفحه 275

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (12,746 امتیاز)
انتخاب شده توسط ناصر آهنگرپور
 
بهترین پاسخ

یک چندجمله‌ای دلخواه با ضریب‌های صحیح تک متغیره از درجهٔ $n$ که عددی طبیعی است را مانند زیر در نظر بگیرید.

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

توجه کنید که $a_n$ ناصفر است و گر نه درجهٔ چندجمله‌ای کمتر اکید از $n$ می‌شود. فرض کنیم $f$ ریشه‌ای گویا مانند $\alpha$ داشته‌باشد. چون $\alpha$ عددی گویاست پس می‌‌توان دو عدد صحیح مانند $p$ و $q$ که نسبت به هم اول هستند یافت که $\alpha=\frac{p}{q}$. توجه کنید که نگفته‌ایم عددهای اول! تنها نسبت به هم اول بودن را خواسته‌ایم. پس با توجه به اینکه فرض کرده‌ایم $\alpha$ یک ریشه برای $f$ است باید رباطهٔ زیر برقرار باشد.

$$a_n(\frac{p}{q})^n+a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1}+\cdots+a_1(\frac{p}{q})+a_0=0$$

می‌توانیم آن را ساده کنیم. ابتدا توان رساندن‌ها و سپس دو طرف برابری را در $q^n$ ضرب می‌کنیم (توجه کنید که $q\neq 0$ پس $q^n$ نیز ناصفر است و اجازهٔ ضرب دو طرف برابری در آن را داریم).

$$a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0$$

ابتدا $a_np^n$ را نگه دارید و مابقی عبارت را به سمت دیگر ببرید.

$$a_np^n=-(a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n)$$

باید به راحتی بتوانید ببینید که می‌توان از سمت راست یک $q$ فاکتور گرفت. اگر نه خط زیر را نگاه کنید.

$$-(a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n)=-q(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1})$$

پس $q$ سمت راست برابری را می‌شمارد، پس باید سمت چپ را نیز بشمارد، $q\mid a_np^n$. اما چون $p$ و $q$ نسبت به هم اول هستند پس $q\mid a_n$.

به روش کاملا مشابه با نگه داشتن $a_0q^n$ در سمت چپ و انتقال مابقی به راست و فاکتور گرفتن از $p$ در سمت راست به این نتیجه می‌رسید که $p\mid a_0$.

پس هر گاه چندجمله‌ای با ضریب‌های صحیح ریشه‌ای گویا داشته باشد، صورت عدد گویا ضریب ثابت و مخرج آن ضریب پیشروی چندجمله‌ای را می‌شمارد. اگر عددی با این ویژگی یافت نشود تناقض می‌شود و معنای آن این است که چندجمله‌ای‌تان از اول ریشه‌ای گویا نداشته‌است. در صورت ریشهٔ گویا داشتن، نیز از همین نکته‌ای که یافتیم می‌توان همهٔ این ریشه‌های گویا را پس از انجام تعداد متناهی عمل بدست آورد. علت آن این است که شمارنده‌های عدد صحیح ناصفر متناهی است پس تعداد متناهی نامزد برای آزمودن در اینکه $f$ را صفر می‌کنند یا خیر بیشتر نداریم و این آزمودن‌ها متناهی عمل حسابی نیاز دارند (چون توان چندجمله‌ای‌مان متناهی است) و صفر نیز تنها زمانی نیاز به آزمودن دارد که ضریب ثابت چندجمله‌ای صفر است.

این مطلب خیلی ساده‌است و باید به ذهن‌تان برسد ولی در غیر این صورت نیز یافتن آن در کتاب‌های مقدماتی جبر خیلی ساده‌است، فکر کنم مثلا در کتاب «نخستین درس در جبر مجرد، نوشتهٔ ف. ج. هیگینز، ترجمهٔ محمدرضا رجب‌زادهٔ مقدم، نشر دانشگاهی» نیز بتوانید ببینید.

توسط ناصر آهنگرپور (693 امتیاز)
@AmirHosein مثل همیشه توضیحاتتون عالی و مفید هستند. با سپاس صمیمانه.
توسط ناصر آهنگرپور (693 امتیاز)
@AmirHosein با درود به استاد گرامی: بنظرم این هم از مواردیه که برای درج در دروس پیشدانشگاهی لازم باشه. و فکر میکنم برای افزودن این آیتم در ویکیپدیای فارسی، فردی با صلاحیت مانند شما میتونه کمک بزرگی برای آن سایت اطلاع رسانی باشه.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...