یک چندجمله‌ای دلخواه با ضریب‌های صحیح تک متغیره از درجهٔ $n$ که عددی طبیعی است را مانند زیر در نظر بگیرید.
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$
توجه کنید که $a_n$ ناصفر است و گر نه درجهٔ چندجمله‌ای کمتر اکید از $n$ می‌شود. فرض کنیم $f$ ریشه‌ای گویا مانند $\alpha$ داشته‌باشد. چون $\alpha$ عددی گویاست پس میتوان دو عدد صحیح مانند $p$ و $q$ که نسبت به هم اول هستند یافت که $\alpha=\frac{p}{q}$. توجه کنید که نگفته‌ایم عددهای اول! تنها نسبت به هم اول بودن را خواسته‌ایم. پس با توجه به اینکه فرض کرده‌ایم $\alpha$ یک ریشه برای $f$ است باید رباطهٔ زیر برقرار باشد.
$$a_n(\frac{p}{q})^n+a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1}+\cdots+a_1(\frac{p}{q})+a_0=0$$
می‌توانیم آن را ساده کنیم. ابتدا توان رساندن‌ها و سپس دو طرف برابری را در $q^n$ ضرب می‌کنیم (توجه کنید که $q\neq 0$ پس $q^n$ نیز ناصفر است و اجازهٔ ضرب دو طرف برابری در آن را داریم).
$$a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0$$
ابتدا $a_np^n$ را نگه دارید و مابقی عبارت را به سمت دیگر ببرید.
$$a_np^n=-(a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n)$$
باید به راحتی بتوانید ببینید که میتوان از سمت راست یک $q$ فاکتور گرفت. اگر نه خط زیر را نگاه کنید.
$$-(a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n)=-q(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1})$$
پس $q$ سمت راست برابری را می‌شمارد، پس باید سمت چپ را نیز بشمارد، $q\mid a_np^n$. اما چون $p$ و $q$ نسبت به هم اول هستند پس $q\mid a_n$.
به روش کاملا مشابه با نگه داشتن $a_0q^n$ در سمت چپ و انتقال مابقی به راست و فاکتور گرفتن از $p$ در سمت راست به این نتیجه می‌رسید که $p\mid a_0$.
پس هر گاه چندجمله‌ای با ضریب‌های صحیح ریشه‌ای گویا داشته باشد، صورت عدد گویا ضریب ثابت و مخرج آن ضریب پیشروی چندجمله‌ای را می‌شمارد. اگر عددی با این ویژگی یافت نشود تناقض می‌شود و معنای آن این است که چندجمله‌ای‌تان از اول ریشه‌ای گویا نداشته‌است. در صورت ریشهٔ گویا داشتن، نیز از همین نکته‌ای که یافتیم میتوان همهٔ این ریشه‌های گویا را پس از انجام تعداد متناهی عمل بدست آورد. علت آن این است که شمارنده‌های عدد صحیح ناصفر متناهی است پس تعداد متناهی نامزد برای آزمودن در اینکه $f$ را صفر می‌کنند یا خیر بیشتر نداریم و این آزمودن‌ها متناهی عمل حسابی نیاز دارند (چون توان چندجمله‌ای‌مان متناهی است) و صفر نیز تنها زمانی نیاز به آزمودن دارد که ضریب ثابت چندجمله‌ای صفر است.
این مطلب خیلی ساده‌است و باید به ذهن‌تان برسد ولی در غیر این صورت نیز یافتن آن در کتابهای مقدماتی جبر خیلی ساده‌است، فکر کنم مثلا در کتاب «نخستین درس در جبر مجرد، نوشتهٔ ف. ج. هیگینز، ترجمهٔ محمدرضا رجب‌زادهٔ مقدم، نشر دانشگاهی» نیز بتوانید ببینید.
