به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
128 بازدید
در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

یک چندجمله‌ای با ضریب‌های صحیح چه زمانی دارای ریشهٔ صحیح می‌باشد؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده توضیح بیشتری وارد نکرده‌است.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,397 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

چندجمله‌ای‌تان را با $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ نشان دهید.

اگر ضرایب چند جمله‌ای صحیح باشند و $ \frac{a}{b} $ یک ریشهٔ آن باشد آنگاه به سادگی دیده می‌شود که $ b \mid a_{n}$ و $a\mid a_0$.

برای معادلات درجه دو و حالاتی از درجه سه مشخص شده است اما در حالت کلی تا جایی که اطلاع دارم کاملا مشخص نشده است فقط چند نکته وجود دارد مثلا

اگر در چندجمله‌ای $ a_{n}=1 $ آنگاه می‌توان نتیجه گرفت هر ریشهٔ غیر گنگ آن یک عدد صحیح است.

اگر ریشه های معادله‌ای همگی صحیح باشند آنگاه تمام ضرایب مضربی از $ a_{n} $ خواهند بود.

برای درجه 2 ها قضیه زیر را داریم:

$a x^{2} +bx+c=0$ دارای ریشه صحیح است اگر و تنها اگر دو شرط زیر برقرار باشد.

1) $b^{2}-4ac $ مربع کامل باشد.

2) هم $ b $ و هم $ c$ مضاربی از $ a $ باشند.

برای اطلاع بیشتر می توانید به مقالهٔ $\text{integer roots of quadratic and cubic polynomials with integer coefficients}$ نوشتهٔ Konstantine Zelator مراجعه نمایید.

توسط
خیلی ممنون بابت پاسختون. در مورد درجه n نمیشه نظری داد؟

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...