چرا یک چندجمله ای با ضریب های حقیقی بر روی میدان عددهای حقیقی به عامل های درجهٔ یک و دو تجزیه می شود؟

Question

قضیه زیر را اثبات کنید:

هر چندجمله‌ای با ضرایب حقیقی قابل تجزیه به عوامل درجه اول و عوامل درجه دومِ تجزیه‌ناپذیر با ضرایب حقیقی می‌باشد.

آیا اصلا این قضیه درست است؟

Answer 1

یک چندجمله‌ای با ضریب‌های مختلط (در نتیجه با ضریب‌های حقیقی هم همینطور) بر روی میدان عددهای مختلط به شمارنده‌های درجهٔ یک تجزیه می‌شود. اکنون یک چندجمله‌ای با ضریب‌های حقیقی بردارید. تجزیه‌اش به شمارنده‌های درجهٔ یک‌اش بر روی میدان عددهای مختلط را در نظر بگیرید، در واقع یعنی اگر درجهٔ $d$ باشد، آنگاه $d$ ریشهٔ مختلط با احتساب تکرارشان دارد. اینک هر یک از این ریشه‌ها را جداگانه بردارید. اگر این ریشه عددی حقیقی باشد پس $x-a$ (که $a$ این ریشه است) یک چندجمله‌ای با ضریب‌های حقیقی است که $a$ در آن صدق می‌کند (یعنی پس از جایگذاری‌اش به جای $x$، حاصل صفر می‌شود). پس $x-a$ چندجمله‌ایِ کمینهٔ آن بر روی میدان عددهای حقیقی است. به یاد آورید که اگر $a$ ریشه‌ای برای چندجمله‌ای $p$ باشد، آنگاه چندجمله‌ای کمینه‌اش $p$ را می‌شمارد (عاد می‌کند). پس هر ریشهٔ حقیقی یک شمارنده (عامل) خطی (درجهٔ یک) برای چندجمله‌ای‌تان می‌دهد.

و اما اگر ریشه عددی مختلط ناحقیقی بود، آنگاه آن را به شکل $a+bi$ بنویسید که $a$ و $b$ هر دو عددهای حقیقی هستند. چون $b\neq 0$ (گفتیم که عدد مختلطِ ناحقیقی) پس هیچ چندجمله‌ایِ درجهٔ یک با ضریب‌های حقیقی‌ای نمی‌توان یافت که این عدد ریشه‌اش باشد (چون ریشهٔ یک چندجمله‌ای درجهٔ یک با ضریب‌های حقیقی، عددی حقیقی است). پس چندجمله‌ای کمینهٔ آن باید درجهٔ دست‌کم ۲ داشته‌باشد. چندجمله‌ای زیر را نگاه کنید.

$$x^2-(2a)x+(a^2-b^2)$$

باید برایتان روشن باشد که ضریب‌های این چندجمله‌ای حقیقی هستند و دو ریشهٔ $a+bi$ و $a-bi$ دارد. چون عددمان در این چندجمله‌ای صدق می‌کند و چندجمله‌ای با درجهٔ کمتر که در آن صدق کند وجود ندارد، پس این چندجمله‌ایِ کمینهٔ عددمان است. این نشان می‌دهد که برای هر ریشهٔ مختلط یک شمارندهٔ درجهٔ دو برای چندجمله‌ایِ اولیه‌مان داریم. و حتی چیزی بیشتر را ثابت می‌کند، نشان می‌دهد که مزدوج هر ریشهٔ مختلطش نیز ریشهٔ آن می‌ماند.

پس هر ریشهٔ حقیقی یک شمارندهٔ درجهٔ یک و هر دو جفت ریشهٔ مختلطِ مزدوج، یک شمارندهٔ درجهٔ دو می‌دهد. توجه کنید که جمع تعداد ریشه‌ها باید $d$ شود. پس اگر $n$ ریشهٔ حقیقی و $2m$ ریشهٔ مختلطِ ناحقیقی (توجه کنید که یک چندجمله‌ای با ضریب‌های حقیقی بنا به چیزی که در بالا نشان دادیم نمی‌تواند تعداد فردی ریشهٔ مختلطِ ناحقیقی داشته باشد) داشته‌باشد، در این صورت داریم $d=n+2m$ و از طرفی شمارنده‌هایی که یافتیم نیز $n$ تا درجهٔ یک و $m$ تا درجهٔ ۲ هستند. چون درجهٔ ضرب دو چندجمله‌ای برابر با جمع درجهٔ تک تک آنها است، پس ضربِ این شمارنده‌ها دارای درجهٔ $n(1)+m(2)=n+2m=d$ است، پس تقسیم چندجمله‌ایِ اولیه بر این حاصلضرب دارای درجهٔ صفر یعنی یک عدد اسکالری ثابت می‌شود. این اثبات را تمام می‌کند، یعنی نشان دادیم که چندجمله‌ای‌مان دقیقا به این حاصلضرب تجزیه می‌شود که ضرب‌وَندهایش درجهٔ یک و دو هستند.