Question

عبارت زیر را حداقل به دو عامل تجزیه کنید و اگر تجزیه نمیشود باید با استدلال ریاضی اثبات کنید که چرا تجزیه نمیشود(حتما با دلیل ریاضیاتی بگویید که چرا تجزیه نمیشود)

x^2(x-y)+y^2(y-z)+z^2(z-x)

خودم تونستم تا جایی برم . اگر همزمان بتوانیم x را به y و y را به z و z را به x تبدیل کنیم حاصل تجزیه ما هیچ تغییری نخواهد کرد و علاوه بر این می‌توانیم با اینکار جواب مساله رو به صفر برسانیم ) با جایگذاری همان عبارات ذکر شده( و می‌توان ریشه را حساب کرد و من به عوامل اشتباهی دست یافتم که بنظرم کمی عجیبه ...

Answer 1

میخواهیم نشان دهیم که این عبارت همیشه تجزیه نمی شود و از برهان خلف استفاده می کنیم.

قرار دهید:

$\psi(x,y,z)=x^2(x-y)+y^2(y-z)+z^2(z-x)=x^3-x^2y+y^3-y^2z+z^3-z^2x$

$=x^3-yx^2-z^2x+(z^3-zy^2)=x^3-yx^2-z^2x+z(z-y)(z+y)$

اگر توجه شود من حاصل عبارت را بر حسب توانهای $x$ مرتب کرده ام.حالا اگر این عبارت تجزیه شود بر حسب $x$ باید یکی درجه یک و دیگری درجه 2 باشد یا سه عامل درجه $1$.

بنابراین:

$\psi(x,y,z)=(x+a)(x^2+bx+c)$

$ac=z(z-y)(z+y) \Rightarrow a=(-1)^kz^{s_1}(z-y)^{s_2}(z+y)^{s_3} \wedge (k=1 \vee 2) \wedge (s_i=0 \vee 1)$

و یا

$\varphi (x,y,z)=(x+a)(x+b)(x+c)$

که در هر حالت بعد از ضرب عاملها به تناقض میرسیم.(من این کار را انجام دادم اما به خاطر طولانی بودن در اینجا ارائه نمیشه.)در حین پیاده کردن این ایده متوجه می شویم که تجزیه زمانی امکان دارد که دوتا از متغیرها برابر باشند مثلن $z=y$ که در این حالت داریم:

$\varphi (x,y,z)= \varphi (x,y,y)=(x+y)(x-y)^2$

$\Box$

Comments

تنها مشکلی که وجود داره اینه که من متوجه شدم که این عبارت می‌تواند در حد دبیرستان هم با استفاده از عبارت های دوری و هم با استفاده از جبر ساده متوسطه اثبات کرد که تجزیه نمیشود .