برای سطح مدرسه این پرسش خیلی ساده است. عدد ۵ در ضریب‌ها و عامل $x^2$ (در هر سه جمله $x$هست و کمینهٔ درجه‌اش ۲ است) به طور بدیهی همان ابتدا خودنمایی می‌کنند که می‌توانید فاکتور بگیرید. پس تا گام زیر را همه باید بتوانند انجام بدهند.
$$5x^2(5+6x-7x^4)$$
چون عبارت درجهٔ ۴ داخل با اتحادهایی که در دبیرستان آموخته‌اید ساده‌ترشدنی نیستند پس به عنوان پرسش مدرسه‌ای این آخر پاسخ برایتان است و باید نمرهٔ کامل را با همین بگیرید. اکنون کمی بیشتر پیش برویم. فرض کنیم می‌خواهید تجزیهٔ کامل بر روی میدان اعداد گویا برای این عبارت داشته باشید (پس وارد سطح دانشگاهی، جیز یا نظریهٔ اعداد می‌شویم). یک چندجمله‌ای درجهٔ ۴ بر روی هر میدان دلخواهی که بردارید اگر بخواهد تجزیه‌شدنی باشد باید به یکی از حالت‌های زیر دربیاید:
- درجهٔ ۳ در درجهٔ ۱.
- درجهٔ ۲ در درجهٔ ۲.
- درجهٔ ۲ در درچهٔ ۱ در درجهٔ ۱.
- درجهٔ ۱ در درجهٔ ۱ در درجهٔ ۱ در درجهٔ ۱.
پس اگر بخواهد تجزیه‌شدنی باشد باید حداقل یک عامل درجهٔ ۱ یا درجهٔ ۲ داشته‌باشد. و اگر نشان دهیم که هیچ عامل درجهٔ ۱ یا ۲ ای ندارد تجزیه‌ناپذیری‌اش را بر روی آن میدان نشان داده‌ایم (دقت کنید که نیازی به چک کردن وجود عامل درجهٔ ۳ ندارید).
عامل درجهٔ ۱ داشتن هم‌ارز با ریشه داشتن است. اما یک نکته برای ریشه‌های گویا برای چندحمله‌ای‌های با ضرایب صحیح دارید. $\frac{p}{q}$ یک ریشهٔ گویا برای یک چندجمله‌ای با ضریب‌های صحیح است اگر و تنها اگر $p$ ضریب جملهٔ با کوچکترین توان از چندجمله‌ای‌تان را بشمارد و $q$ ضریب جملهٔ با بزرگترین توان از چندجمله‌ای‌تان را بشمارد. در حالت شما باید چک کنید که آیا عددی از بین عددهای مجموعهٔ زیر چندجمله‌ای درجهٔ ۴ تان را صفر می‌کند یا خیر.
$$\lbrace \pm\frac{5}{7},\pm\frac{1}{7},\pm 5,\pm 1\rbrace$$
که پاسخ منفی است. اکنون به سراغ درجهٔ ۲ برویم. فرض کنید یک چندجمله‌ای درجه ۲ آن را بشمارد در نتیجه پس از تقسیم یک چندجمله‌ای درجهٔ ۲ دیگر در خارج قسمت دارید و باقیماندهٔ صفر. پس باید عددهای صحیح (گویا) $a,b,c,d,e,f$ ای یافت شوند که داشته‌باشیم:
$$(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=-7x^4+6x+5$$
پس از ساده‌ساختن سمت چپ و برابر قرار دادن صریب‌های هر $x^i$ برای $i=0,1,2,3,4,5$ یک دستگاه ۵ معادله ۶ مجهول دارید. این دستگاه ریشهٔ گویا ندارد.
پس واقعا همان پاسخ سادهٔ اولیه پاسخ نهایی بر روی میدان اعداد گویا است.
