ابتدا اینکه تجزیه بر روی چه میدان یا حلقه‌ای؟ به صورت پیش‌فرض، فرض می‌کنیم که منظورتان تجزیه بر روی میدان اعداد گویا است. توجه کنید که که بر روی میدان اعداد مختلط هر چندجمله‌ای دلخواه با درجهٔ بیشتر از یک، تجزیه‌پذیر است. بر روی میدان اعداد حقیقی نیز هر چندجمله‌ای با درجهٔ بیشتر از دو، به عوامل درجه یک و دو تجزیه می‌شود، پس بر روی $\mathbb{C}$ و $\mathbb{R}$ چندجمله‌ایِ درجه‌سه‌تان بدون نیاز به هیچ کاری با توجه به این دو نکته مطمئنا تجزیه‌پذیر است. اما برگردیم به اعداد گویا. توجه کنید که یک چندجمله‌ای درجهٔ ۲ یا ۳ برای تجزیه‌پذیر بودن حتما باید دست‌کم یک عاملِ درجهٔ یک داشته‌باشد. چون جمع درجهٔ عامل‌ها باید با درجهٔ خود چندجمله‌ایِ نخست برابر باشد. بعلاوه عامل‌ها درجه صفر در نظر گرفته نمی‌شوند پس در واقع به شیوه‌های ممکن برای افراز یک عدد طبیعی به جمع عددهای طبیعی کوچکتر نگاه می‌کنید. برای ۲ و ۳ افرازهای ممکن عبارت اند از:
\begin{align}
2 &= 2\\
2 &= 1+1\\
3 &= 3\\
3 &= 2+1\\
3 &= 1+1+1
\end{align}
حالت ۲=۲ و ۳=۳ حالت تجزیه‌ناپذیر بودن هستند و حالت‌های دیگر همگی دست‌کم یک دانه ۱ دارند که اینها حالت‌های تجزیه‌پذیر بودن هستند. اکنون که می‌دانید یک چندجمله‌ای درجه ۲ یا ۳ ای که تجزیه‌پذیر است حتما باید عامل درجهٔ ۱ داشته‌باشد. بیایید عامل درجهٔ ۱ را نگاه کنیم. یک چندجمله‌ای درجهٔ ۱ به شکل $ax+b$ نوشته می‌شود. اما توجه کنید که ضریب‌ها اگر از میدان می‌آیند، آنگاه یعنی وارونِ ضربی دارند. چون $ax+b$ عاملی از $p$ (چندجمله‌ایِ نخست) است، پس باید چندجمله‌ایِ دیگری مانند $q$ باشد که $p=(ax+b)q$. اکنون $q$ را در $a$ و $ax+b$ را در $a^{-1}$ ضرب کنید. حاصلِ $aq$ یک چندجمله‌ای جدید می‌شود، آن را $q'$ نمایش دهید. حاصلِ $a^{-1}(ax+b)$ برابر با $x+a^{-1}b$ می‌شود، با قرار دادنِ $a^{-1}b=c-$ داریم $x-c$. باید برایتان روشن باشد که $p=(x-c)q'$. اما توجه کنید که $c$ عددی گویاست و $x=c$ عبارتِ $(x-c)$ را صرف می‌کند که در نتیجه $p$ را هم صرف خواهدکرد. پس $c$ باید ریشه‌ای برای $p$ باشد. چیزی که اینجا ثابت شد این است که
اگر یک چندجمله‌ایِ درجهٔ ۲ یا ۳ بر روی یک میدان تجزیه‌پذیر باشد، آنگاه دارای یک ریشه از آن میدان است.
برعکس آن نیز که حتی ساده‌تر است. پس این گزاره در واقع اگر و تنها اگر است. اکنون کافی است پاسخی که در پست زیر پیش‌تر گذاشته‌بودم را به کار ببرید.
https://math.irancircle.com/19321/#a19361
با توجه به نکتهٔ گذاشته‌شده در پستِ اشاره‌شده، تنها نامزدهای ممکن برای ریشهٔ گویابودنِ چندجمله‌ای پرسشِ شما عبارت‌اند از
$$-1,1,-3,3,-5,5,-15,15$$
که هیچ یک از این هشت عدد چندجمله‌ای شما را صفر نخواهند کرد.
اگر می‌خواهید با نرم‌افزار هم کار کنید. در زیر چند خط دستور در Maple گذاشته‌شده‌است. دستورِ irreduc تجزیه‌ناپذیری بر روی میدان عددهای گویا را چک می‌کند که برای چندجمله‌ایِ شما پاسخِ true می‌دهد، یعنی این چندجمله‌ای بر روی عددهای گویا تجزیه‌پذیر نیست. حلقهٔ for آمده در زیر آن نیز به شما حاصلِ جایگذاری هشت نامزد یادشده در چندجمله‌ای‌تان را نشان خواهد داد.
p := x^3-8*x^2+15;
irreduc(p);
l := [-1, 1, -3, 3, -5, 5, -15, 15];
for r in l do
printf("%a\n", eval(p, [x=r]));
end do;
