شکل این تابع را اگر در نظر بگیرید به صورت زیر است:
واضح است فقط یه ریشه حقیقی دارد. و آن هم بین $(-2,-1)$ قرار دارد.(من فرض کردم که شما می خواهید روی اعداد حقیقی تجزیه کنید)
پس اگر این عبارت را بخواهیم تجزیه کنیم باید یا به صورت حاصلضرب یک چندجمله ای درجه دوم در یک چندجمله ای درجه سوم نوشت یا به صورت حاصلضرب یک چندجمله ای درجه اول در یک چندجمله ای درجه چهارم نوشت.
اما در اینجا ثابت شده که عبارات به صورت $x^5-x+n$ فقط برای $n = ±15, n = ±22440, n = ±2759640$ قابل تجزیه به صورت یک عبارت درجه دوم در یک عبارت درجه سوم است.
پس مجبوریم آن را به صورت حاصلضرب یک عبارت درجه اول در یک عبارت درجه چهارم بنویسیم. ولی فقط وقتی این کار ممکن پذیر است که بتوانیم ریشه را به دست آوریم. ولی به دست آوردن ریشه این تابع با روش های جبری ممکن پذیر نیست. چون واضح است که ریشه آن گویا نیست. بنابراین نمی توانیم این را تجزیه کنیم مگر اینکه ریشه دقیق را بدانیم. ولی ما فقط می توانیم به روش های عددی تقریبی از ریشه را بیابیم.
ویرایش بعد از دیدگاه:
برای تجزیه ی $x^5+x+1$ داریم:
$$\begin{align}x^5+x+1&=x^5-x^2+x^2+x+1\\
&=x^2(x^3-1)+x^2+x+1\\
&=x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1\\
&=(x^2+x+1)(x^2(x-1)+1)\\
&=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\end{align}$$
