میخواهیم نشان دهیم که این عبارت همیشه تجزیه نمی شود و از برهان خلف استفاده می کنیم.
قرار دهید:
$ \psi(x,y,z)=x^2(x-y)+y^2(y-z)+z^2(z-x)=x^3-x^2y+y^3-y^2z+z^3-z^2x$
$=x^3-yx^2-z^2x+(z^3-zy^2)=x^3-yx^2-z^2x+z(z-y)(z+y)$
اگر توجه شود من حاصل عبارت را بر حسب توانهای $x$ مرتب کرده ام.حالا اگر این عبارت تجزیه شود بر حسب $x$ باید یکی درجه یک و دیگری درجه 2 باشد یا سه عامل درجه $1$.
بنابراین:
$\psi(x,y,z)=(x+a)(x^2+bx+c)$
$ac=z(z-y)(z+y) \Rightarrow a=(-1)^kz^{s_1}(z-y)^{s_2}(z+y)^{s_3} \wedge (k=1 \vee 2) \wedge (s_i=0 \vee 1)$
و یا
$ \varphi (x,y,z)=(x+a)(x+b)(x+c)$
که در هر حالت بعد از ضرب عاملها به تناقض میرسیم.(من این کار را انجام دادم اما به خاطر طولانی بودن در اینجا ارائه نمیشه.)در حین پیاده کردن این ایده متوجه می شویم که تجزیه زمانی امکان دارد که دوتا از متغیرها برابر باشند مثلن $z=y$ که در این حالت داریم:
$ \varphi (x,y,z)= \varphi (x,y,y)=(x+y)(x-y)^2$
$ \Box $
