به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
245 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ARIANMa4059P (1 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

آیا عبارت زیر تجزیه‌پذیر است؟ اگر بلی آن را تجزیه کنید و اگر خیر اثبات کنید.

$$x^2(x-y)+y^2(y-z)+z^2(z-x)$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,383 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

میخواهیم نشان دهیم که این عبارت همیشه تجزیه نمی شود و از برهان خلف استفاده می کنیم.

قرار دهید:

$ \psi(x,y,z)=x^2(x-y)+y^2(y-z)+z^2(z-x)=x^3-x^2y+y^3-y^2z+z^3-z^2x$

$=x^3-yx^2-z^2x+(z^3-zy^2)=x^3-yx^2-z^2x+z(z-y)(z+y)$

اگر توجه شود من حاصل عبارت را بر حسب توانهای $x$ مرتب کرده ام.حالا اگر این عبارت تجزیه شود بر حسب $x$ باید یکی درجه یک و دیگری درجه 2 باشد یا سه عامل درجه $1$.

بنابراین:

$\psi(x,y,z)=(x+a)(x^2+bx+c)$

$ac=z(z-y)(z+y) \Rightarrow a=(-1)^kz^{s_1}(z-y)^{s_2}(z+y)^{s_3} \wedge (k=1 \vee 2) \wedge (s_i=0 \vee 1)$

و یا

$ \varphi (x,y,z)=(x+a)(x+b)(x+c)$

که در هر حالت بعد از ضرب عاملها به تناقض میرسیم.(من این کار را انجام دادم اما به خاطر طولانی بودن در اینجا ارائه نمیشه.)در حین پیاده کردن این ایده متوجه می شویم که تجزیه زمانی امکان دارد که دوتا از متغیرها برابر باشند مثلن $z=y$ که در این حالت داریم:

$ \varphi (x,y,z)= \varphi (x,y,y)=(x+y)(x-y)^2$

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...