Question

ثابت کنید:

$$ (y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-y)^{2}=(y+z-2x)^{2} +(z+x-2y)^{2}+(x+y-2z)^{2}$$

Answer 1

نکته اول اینکه عبارت جبری مورد نظر صحیح نیست و شکل صحیح آن بصورت زیر است :

$$3((y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-y)^{2})=(y+z-2x)^{2}+(z+x-2y)^{2}+(x+y-2z)^{2}$$

نکته دوم هم اینکه برای اثبات آن تمام پارانترهای دو طرف مساوی را بتوان دو میرسانبم و سپس ساده میکنم :

$$3(y^{2}+z^{2}-2yz+z^{2}+x^{2}-2xz+x^{2}+y^{2}-2xy)=$$ $$y^{2}+z^{2}+4x^{2}+2yz-4xy-4xz+z^{2}+x^{2}+4y^{2}+2xz-4yz$$ $$-4xy+x^{2}+y^{2}+4z^{2}+2xy-4xz-4yz$$ $$ \Rightarrow 3(2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2xz-2yz)=$$ $$6y^{2}+6z^{2}+6x^{2}-6yz-6xy-6xz$$

ما با به توان رساندن پارانتزها و انجام جمع و تفریق به یک عبارت جبری درست رسیدیم پس در نتیجه رابطه مورد نظر صحیح است