Question

اگر $x+y+z=1$ ثابت کنید $(1-2x)^3+(1-2y)^3+(1-2z)^3+24xyz=1 $

Answer 1

اگر عبارت را ساده کنیم عبارت زیر بدست می آید :

$$-8(x^3+y^3+z^3)+12(x^2+y^2+z^2)-6(x+y+z)+24xyz+3$$

اول عبارت سمت چپ و عبارت $24xyz$ رو با استفاده از اتحاد اویلر ساده میکنیم :

$$-8(x^3+y^3+z^3-3xyz)=-8(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+xz+yz))$$

$$=-8(x^2+y^2+z^2)+8(xy+xz+yz)$$

حال عبارت $12(x^2+y^2+z^2)$ را به آن اضافه میکنیم :

$$4(x^2+y^2+z^2)+8(xy+xz+yz)=4(x^2+y^2+z^2+2(xz+yz+xz))=4(x+y+z)^2=4$$

و در آخر اگر این نتیجه و فرض را در عبارت اول جایگذین کنیم بدست می آید $4-3=1$