ابتدا ما تعریف میکنیم :
$$\sqrt{a-1}=x \ \ , \ \ \sqrt{b-1}=y \ \ , \ \ \sqrt{c-1}=z$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$a=x^2+1 \ \ ,\ \ b=y^2+1 \ \ , \ \ c=z^2+1$$
حال باید ثابت کنیم که :
$$x+y+z\le\sqrt{(z^2+1)\left(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+1\right)}$$
$$ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\le(z^2+1)\left((x^2+1)(y^2+1)+1\right)$$
$$ \Leftrightarrow 0 \le z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+x^2y^2-2xy+2$$
$$ \Leftrightarrow 0\le z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+(xy-1)^2+1$$
حال اگر نامساوی زیر را ثابت کنیم . اثبات تمام شده است .
$$A:=z^2(x^2+1)(y^2+1)-2z(x+y)+1\ge 0$$
برای اثبات نامساوی بالا میدانیم که $A$ یک عبارت درجه دو بر حسب $z$ است که ضریب $z^2$ یعنی $(x^2+1)(y^2+1)$ همواره مثبت است .
و اینکه :
$$ \Delta=(x+y)^2-4(x^2+1)(y^2+1)(1) =-4(xy-1)^2\le0$$
نامساوی اثبات شد.
