Question

اگر$ a, b , c$ اعدادی مخالف صفر و : $$ a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+a^{2} c^{2}=abc(a+b+c) $$ باشد ثابت کنید $$a=b=c$$

Answer 1

طرفین معادله رو در ۲ ضرب کنید.و همه رو یک طرف بیارید.

$$(a^2b^2+a^2c^2-2a^2bc)+(a^2b^2+b^2c^2-2ab^2c)+(a^2c^2+b^2c^2-2abc^2)=0$$

حال مربع کامل تشکیل دهید.

$$(ab-ac)^2+(ab-bc)^2+(ac-bc)^2=0$$

پس داریم:

$$ab=ac,ab=bc,ac=bc$$

و چون $a,b,c$ مخالف صفر هستند می توانیم انها را بر طرفین تقسیم کنیم.پس داریم:

$$a=b=c$$