در این مسأله شرط حقیقی بودن اعداد $a$ و $b$ لازم است چون در ادامه ثابت می کنیم که این گزاره برای اعداد مختلط همیشه درست نیست. پس فرض می کنیم $a,b \in R$ هستند. داریم:
$$ a^{2}+ b^{2}+ab=b-a-1\,\, \rightarrow$$
$$ a^{2}+ b^{2}+ab-b+a+1=0\,\, \rightarrow$$
$$ a^{2}+(b+1)a+b^{2}-b+1=0\,\, \rightarrow$$
$$ a= \frac{-(b+1) \pm \sqrt{ b^{2}+2b+1-4b^{2}+4b-4 } }{2} \,\, \rightarrow$$
$$ a= \frac{-(b+1) \pm |b-1|i\sqrt{3} }{2} \,\, \rightarrow$$
$$ b-1=0 \,\, \rightarrow \,\,b=1\,\, \rightarrow \,\,a=-1 $$
پس:
$$ a^{101}+ b^{101}=-1+1=0 $$
پس اگر $a,b$ اعداد حقیقی باشند، گزاره برقرار است.
ثابت می کنیم، گزاره برای هر عدد (مجموعه اعداد مختلط) همیشه برقرار نیست. فرض می کنیم$\,\,b=0\,\,$ پس
$\,\,a= \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2}\,\, $ که در این صورت داریم:
$$ a^{101}+ b^{101}= ( \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2})^{101}+ 0 $$
و عبارت سمت چپ در تساوی بالا وقتی برابر صفر است که $ \pm i \sqrt{3}=1 $ که تناقض است.
