Question

اگر $a^{2} + b^{2} +ab= b-a-1$ ثابت کنید $a^{101} + b^{101} =0$

Comments

لطفا عنوان مناسب انتخاب کنید. فکر نکنم "اثبات کنید" عنوان خوبی باشه. و در ضمن تلاش خودتونو در مورد مساله بنویسید.

Answer 1

با توجه به فرض مساله داریم

$$(a+b)^2=(a+1)(b-1)$$

اما از نامساوی $xy\leq (\frac {x+y}2)^2$ که برای هر $x,y$ حقیقی برقرار است داریم:

$$(a+b)^2\leq \left(\frac{(a+1)+(b-1)}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^2}{4}$$

که این فقط وقتی درست است که $a+b=0$ یعنی $a=-b$ .

و اگر در معادله بالا $a=-b$ را جایگذاری کنیم به دست می آوریم: $a=-1,b=1$

Comments

چرا برای $a$ و $b$ مقدار بدست آورده‌اید؟ پس از جایگذاری $a=-b$ در $a^{101}+b^{101}$ به صفر می‌رسید که اثبات را کامل می‌کند.

---

@AmirHosein
راستش اولش تا اینجا نوشتم که $a=-b$
بعدش خواستم بگم که روش منم a و b رو به دست میده دیگه ویرایش کردم و اضافه کردم :)

---

@fardina بلی، دقیقا چند ثانیه پس از نوشتن دیدگاهم متوجه شدم که آن‌را مخفی کردم ههههه

Answer 2

در این مسأله شرط حقیقی بودن اعداد $a$ و $b$ لازم است چون در ادامه ثابت می کنیم که این گزاره برای اعداد مختلط همیشه درست نیست. پس فرض می کنیم $a,b \in R$ هستند. داریم:

$$a^{2}+ b^{2}+ab=b-a-1\,\, \rightarrow$$ $$a^{2}+ b^{2}+ab-b+a+1=0\,\, \rightarrow$$ $$a^{2}+(b+1)a+b^{2}-b+1=0\,\, \rightarrow$$ $$a= \frac{-(b+1) \pm \sqrt{ b^{2}+2b+1-4b^{2}+4b-4 } }{2} \,\, \rightarrow$$ $$a= \frac{-(b+1) \pm |b-1|i\sqrt{3} }{2} \,\, \rightarrow$$ $$b-1=0 \,\, \rightarrow \,\,b=1\,\, \rightarrow \,\,a=-1$$ پس:

$$a^{101}+ b^{101}=-1+1=0$$

پس اگر $a,b$ اعداد حقیقی باشند، گزاره برقرار است.

ثابت می کنیم، گزاره برای هر عدد (مجموعه اعداد مختلط) همیشه برقرار نیست. فرض می کنیم$\,\,b=0\,\,$ پس $\,\,a= \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2}\,\,$ که در این صورت داریم:

$$a^{101}+ b^{101}= ( \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2})^{101}+ 0$$

و عبارت سمت چپ در تساوی بالا وقتی برابر صفر است که $\pm i \sqrt{3}=1$ که تناقض است.

Answer 3