به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
308 بازدید
در دبیرستان توسط alitk (288 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

بفرض $a$ و $b$ و $c$ عددهایی حقیقی باشند. اگر $abc=1$ و $a^3>36$، آنگاه ثابت کنید که

$$\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+ac+bc$$

سعی کردم از برهان خلف استفاده کنم، به جایی نرسید. سپس سعی کردم از $a^2+b^2>ab$ استفاده کنم. در درنهایت می‌خواستم به گونه‌ای تجزیه کنم که طرف دیگر صفر شود، ولی نشد.

3 پاسخ

+3 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)

من زمانی که این پرسش شما را دیدم سپتامبر ۲۰۱۹ در حال تدریس نیمی از یک درس در دانشگاه کپنهاگ بودم (در این صفحه می‌توانید فایل‌هایی که برای دانشجویانم گذاشتم را ببینید و در این صفحه هم می‌توانید توضیحات خود درس را ببینید). برای همین از روی سرگرمی و کنجکاوی اولین ایده‌ای که به ذهنم رسید استفاده از Cylindrical Algebraic Decomposition بود که البته جزو مباحث دبیرستانی نیست و تنها افرادی که در زمینهٔ هندسهٔ جبری محاسباتی کار می‌کنند و آن هم نه همهٔ این افراد با این ابزار آشنا هستند. این روش خیلی ساده در چند ثانیه ادعای خواسته‌شده را ثابت می‌کند (البته با کمک نرم‌افزار). سپس زمانی که ازم خواسته‌شد که به عنوان یکی از مدرسین این درس چند پرسش از آزمون نهایی این درس را طراحی کنم از این پرسش شما برای بخشی که این ابزار هندسهٔ جبری محاسباتی را آموزش داده بودم استفاده کردم. ترجمهٔ متن پرسشی که در امتحان قرار دادم به فارسی به شرح زیر است.

(پرسش ۵ از ۶ پرسش با بارم ۲۰ نمره از ۱۰۰ نمرهٔ کتبی) گزارهٔ شرطیِ زیر را در نظر بگیرید: < $$\forall a,b,c\quad\colon\;abc=1,\;a^3>36\;\Longrightarrow\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+ac+bc.$$ سمت چپ این گزاره را با $p$ و سمت راست را با $q$ نمایش دهید، بنابراین گزارهٔ شرطی‌مان به شکل $p\Longrightarrow q$ درمی‌آید. با کمک نکته‌های یادآوری‌شده در زیر نشان دهید که با استفاده از CAD و دو روش متفاوت (الف) و (ب) یِ آمده در زیر می‌توان اثبات کرد که گزارهٔ شرطیِ بالا به طور عمومی برقرار است (یعنی باید دو اثبات محاسباتی متفاوت بسازید).

(الف) از این نکته که یک گزارهٔ شرطیِ $p\Longrightarrow q$ برقرار است اگر و تنها اگر $p\wedge\neg q$ نادرست باشد (یعنی اگر و تنها اگر گزارهٔ «$p$ درست و $q$ نادرست» نادرست باشد).

(ب) CAD-ِ دستگاه پارامتری تعریف شده با شرط $p\wedge q$ ($p$ و $q$ درست) زمانی که $b$ به عنوان متغیر در نظر گرفته شده باشد را محاسبه کنید. سپس CAD-ِ دستگاه پارامتری تعریف‌شده با $p$ درست باشد را محاسبه کنید. اکنون با مقایسهٔ این دو CAD برقراری گزارهٔ شرطی پرسش را به طور عمومی نتیجه‌گیری کنید. کشیدن خروجی CADها با رنگ‌آمیزی بخش‌های با تعداد پاسخ یکسان با رنگ یکسان می‌تواند کمکتان کند. این روش را باری دیگر ولی با در نظر گرفتن $a$ به عنوان متغیر تکرار کنید.

چند یادآوری: به یاد آورید که CAD-ِ محاسبه‌شده با بستهٔ RootFinding[Parametric] در نرم‌افزار Maple تنها بخش‌های باز را در خروجی می‌آورد. بعلاوه در حل‌کردن این پرسش توجه کنید که تعداد برابری‌هایتان (معادله‌ها) نباید از تعداد متغیرهایتان کمتر باشد و بعد ایده‌آل تولیدشده بوسیلهٔ چندجمله‌ای‌های تعریف کنندهٔ برابری‌ها باید صفر باشد (دستور HilbertDimension از بستهٔ PolynomialIdeals-ِ نرم‌افزار Maple را می‌توانید استفاده کنید). این ممکن است باعث شود که برخی از $a$، $b$ یا $c$ را به عنوان پارامتر در نظر بگیرید.

اکنون پاسخی که در پاسخ‌نامهٔ آزمون برای تصحیح اوراق امتحان و همینطور آگاه شدن دانشجوها از پاسخ درست پرسش گذاشتم را در زیر می‌آورم.

توجه کنید که یک رابطه به طور عمومی برقرار است هر گاه در همه‌جا به جز یک مجموعهٔ جبری بسته برقرار باشد. چون بعد یک مجموعهٔ جبری بستهٔ سره همیشه کمتر از بعد کل دامنه است پس دارای اندازهٔ لبگ صفر هم می‌شود و به‌طورعمومی برقرار بودن، تقریبا همیشه برقرار بودن آماری را نیز نتیجه می‌دهد (ولی عکس آن برقرار نیست). محاسبات انجام شده در Maple برای بخش (الف) را در زیر می‌توانید ببینید.

اتفاقی که افتاده است به این شرح است.

نخست اینکه لازم به شرح نیست که گزارهٔ «با فرض جیم حکم دال را داریم» تنها زمانی برقرار نیست که جیم درست باشد ولی دال نادرست، پس برای ثابت کردن گزارهٔ شرطی مسأله باید ثابت کنیم که $p$ و نقیض $q$ هرگز روی نمی‌دهد. این گزارهٔ جدید معادل است با اینکه به ازای هر زوج مرتب $(b,c)\in\mathbb{R}^2$، هیچ $a\in\mathbb{R}$ای یافت نشود که سه رابطهٔ زیر همزمان برقرار باشند: $$abc=1,\;a^3>36,\;-\frac{a^2}{3}-b^2-c^2+ab+ac+bc>0$$

پس ما CAD ای می‌سازیم که ناحیهٔ پارامترها یعنی صفحهٔ حقیقی با محورهای $b$ و $c$ را به مجموعه‌های مجزایی افراز می‌کند که تعداد جواب‌های این دستگاه متشکل از برابری‌ها و نابرابری‌های چندجمله‌ای پارامتری با پارامترهای $b$ و $c$ و متغیر $a$ روی این مجموعه‌های افراز ثابت است. کد Maple ما این را انجام داده و ناجیهٔ پارامترها را به ۲۴ بخش باز (مجموعهٔ باز) تقسیم‌بندی‌ کرده‌است (مرزهای بین این مجموعه‌های که خم‌ هستند را نیاورده‌است) و روی همهٔ این ۲۴ تا تعداد جواب‌ها برابر با صفر است. پس حکم ما به طور عمومی برقرار است. (بخش نخست کد شرایط استفاده از دستور CAD در نرم‌افزار Maple را بررسی می‌کند).

توجه کنید که می‌توان به طور کاملا دقیق (نه فقط به طور عمومی) با CAD حکم را ثابت کرد، برای این‌کار باید چندجمله‌ای‌های تصویر را از حاصل CAD فراخوانی کنید و مرزها را خودتان بررسی کنید که کاری ساده است ولی در متن پرسش آزمون خواسته‌نشده است.

در قسمت (ب) ایده فرق می‌کند. به جای اینکه بیاییم جایی که گزاره شرطی برقرار نیست را پیدا کنیم، مجموعهٔ پارمترهایی که فرض برقرار است را بدست می‌آوریم و سپس خودمان را به این مجموعه محدود می‌کنیم و زیرمجموعه‌ای از این ناحیه که حکم هم برقرار می‌شود را می‌یابیم. اگر گزارهٔ شرطی درست باشد باید این دو ناحیه یکسان شوند و گر نه تفاضل این دو ناحیه شامل تصویر مجموعهٔ مثال‌نقض‌های این گزارهٔ شرطی بر روی صفحهٔ $b\circ c$ خواهد شد. به جای آوردن کل محسابات Maple، به شکل‌های آنها در زیر بسنده می‌کنیم. توجه کنید که شکل‌های آورده شده فقط قسمت محدودی از صفحهٔ بیکران حقیقی است، بنابراین شکل محدود به تنهایی اثبات نخواهد بود و باید توصیف مجموعه‌های خروجی در افراز بدست آمده در CADها را بیاورید و مجموعه‌های خواسته‌شده را با اجتماع و غیره محاسبه کنید و مقدار دقیق این مجموعه‌ها را برای برابر بودن یا نبودن ملاک قرار دهید.

سمت راست مربوط به $p$ و سمت چپ مربوط به «$p$ و $q$» است. زرد یعنی دارای پاسخ و آبی یعنی فاقد پاسخ.

همانند حالت پیش، ولی توجه کنید که این بار $b$ به عنوان متغیر و $a$ و $c$ به عنوان پارامتر در نظر گرفته شده‌اند.

توسط alitk (288 امتیاز)
@AmirHosein
بزرگوار خیلی ممنون از لطف و زحمتتون،دیر به دیر چک کردن ایمیل‌م باعث تاخیر زیادم شد
روش دبیرستانی،یا قابل هضم تر برای بنده(و عموم دبیرستانی ها)رو بزودی آپلود میکنم؛سوال بسیار جالب است و حل‌ ازآن جالب تر
بسیار ممنون از لطفتان
+1 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

امروز با یکی از دوستانِ ریاضی‌وَرز در حال حل چند پرسش از المپیادهای ریاضی سال‌های پیش بودیم که به یک پرسش از نوع اثبات نامساوی برخورد کردیم. (اینجا کلیک کنید). اما برای حل آن از تبدیل پرسش به یافتن اکسترمم‌های یک تابع چندمتغیره استفاده کردم. در میان گفتگو با این دوست به یاد این پست افتادم که با ابزار هندسهٔ جبری حل کرده‌بودم. ایشان پیشنهاد دادند که چرا روش تبدیل به مسألهٔ بهینه‌سازی را اینجا پیاده نمی‌کنید و بر این شدم که دوباره این پرسش را حل کنم.

به جای اینکه پرسش را با این شکلی که می‌بینید پیش ببریم، بیایید تابع سه‌متغیرهٔ زیر را تعریف کنید.

$$F(a,b,c)=\frac{1}{3}a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$$

اگر ثابت کنیم که کمینهٔ تابع $F(a,b,c)$ مثبت است آنگاه یعنی $F(a,b,c)> 0$ که همان نامساوی صورت پرسش را می‌رساند. یک شرط برابری به شکل $abc=1$ داریم، اگر شرط دوم یعنی $a^3>36$ هم به شکل برابری می‌بود می‌شد از روش ضریب‌های لاگرانژ استفاده کرد (برای خواندن پست‌های مرتبط با ضریب‌های لاگرانژ در این سایت بر روی اینجا کلیک کنید). اما نگران نباشید! همیشه بر روی عددهای حقیقی ترفندهای زیادی وجود دارد. به جای نوشتنِ $a^3>36$ می‌توانیم یک متغیر کمکی خودمان تعریف کنیم مانند $s$ و بنویسیم $a^3-36=s^2$ نه؟ پس به بهای افزودن یک متغیر اضافه‌تر پرسش را زیر کنترل روش مورد نظرمان می‌آوریم. پس شرایط‌مان می‌شوند؛

\begin{align} G_1(a,b,c) &= abc-1\\ G_2(a,s) &= a^3-36-s^2 \end{align}

اکنون دو متغیر کمکی لاگرانژ $\lambda_1$ و $\lambda_2$ را هم می‌افزائیم و تعریف می‌کنیم؛

$$H(a,b,c,s,\lambda_1,\lambda_2)=F(a,b,c)+\lambda_1G_1(a,b,c)+\lambda_2G_2(a,s)$$

از اینجا به بعد روال همیشگی را داریم. باید دستگاه زیر را تشکیل و حل کنیم.

$$\frac{\partial H}{\partial a}=\frac{\partial H}{\partial b}=\frac{\partial H}{\partial c}=\frac{\partial H}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial \lambda_1}=\frac{\partial H}{\partial \lambda_2}=0$$

برای حل آن دوباره از نرم‌افزار کمک گرفته‌ایم ولی اگر تمایل داشتید می‌توانید با دست امتحان کنید :) من در اینجا از Mathematica استفاده کردم.

F = a^2/3 + b^2 + c^2 - a*b - a*c - b*c;
Subscript[G, 1] = a*b*c - 1;
Subscript[G, 2] = a^3 - 36 - s^2;
H = F + Subscript[l, 1]*Subscript[G, 1] + 
   Subscript[l, 2]*Subscript[G, 2];
sols = Solve[
   D[H, a] == 0 && D[H, b] == 0 && D[H, c] == 0 && D[H, s] == 0 && 
    D[H, Subscript[l, 1]] == 0 && D[H, Subscript[l, 2]] == 0, {a, b, 
    c, s, Subscript[l, 1], Subscript[l, 2]}, Reals];
For[i = 1, i <= Length[sols], i++,
 Print[N[ReplaceAll[sols[[i]]][F]]]
 ]

که چهار پاسخ حقیقی برای دستگاه برابری‌ها می‌دهد و در مقدار تابع $F$ در این چهار نقطه برابر با مقدارهای زیر است.

$$7.57134,\; 4.44089\times 10^{-16},\; 0.302853,\; 5.55112\times 10^{-16}$$

البته مقدارها را تقریب زده‌ایم ولی نتیجه مشخص است. اگر فکر می‌کنید. بعلاوه اگر به نقطه‌ها توجه کنید در هر چهار نقطه $s=0$ درآمده است که یعنی بر روی مرز شرط $a^3>36$ این اکسترمم‌ها روی داده‌اند. اگر فکر می‌کنید که در دو نقطه از چهار نقطهٔ بالا مقدار تابع دقیقا صفر می‌شود و نامساوی حکم پرسش مساوی می‌شود، باید توجه کنید که شرط دوم مسأله نامساوی اکید بود و $s$ حق ندارد دقیقا صفر شود، پس فقط می‌تواند به آن میل کند که این نشان می‌دهد که مقدار تابع $F$ نیز تنها می‌تواند به دو مقداری که فکر می‌کنید صفر هستند میل کند و نه برابر آنها بشود.

–1 امتیاز
توسط Mh.salek (-1 امتیاز)

از شرط میتونیم برسیم به اینکه a^2>36bc طبق اتحاد مربع داریم : a^2+b^2>=2ab a^2+c^2>=2ac حال باجمع طرفین داریم ؛ 3a^2+b^2+c^2>= 2ab+36bc+2ac حال طبق اصل اینکه(اگر عبارتی از ضریب عبارت دیگر بزرگ بود از خودان عبارت هم بزرگ تره .اگ ضریب مثبت باشه) 3a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ab ▫️

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+1
@Mh.salek سمت چپ نابرابری خواسته‌شده در متن پرسش $\frac{1}{3}a^2+b^2+c^2$ است که برای یک‌سه‌تایی دلخواه الزاما از $3a^2+b^2+c^2$ بزرگتر نیست!

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...