امروز با یکی از دوستانِ ریاضی‌وَرز در حال حل چند پرسش از المپیادهای ریاضی سال‌های پیش بودیم که به یک پرسش از نوع اثبات نامساوی برخورد کردیم. (اینجا کلیک کنید). اما برای حل آن از تبدیل پرسش به یافتن اکسترمم‌های یک تابع چندمتغیره استفاده کردم. در میان گفتگو با این دوست به یاد این پست افتادم که با ابزار هندسهٔ جبری حل کرده‌بودم. ایشان پیشنهاد دادند که چرا روش تبدیل به مسألهٔ بهینه‌سازی را اینجا پیاده نمی‌کنید و بر این شدم که دوباره این پرسش را حل کنم.
به جای اینکه پرسش را با این شکلی که می‌بینید پیش ببریم، بیایید تابع سه‌متغیرهٔ زیر را تعریف کنید.
$$F(a,b,c)=\frac{1}{3}a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$$
اگر ثابت کنیم که کمینهٔ تابع $F(a,b,c)$ مثبت است آنگاه یعنی $F(a,b,c)> 0$ که همان نامساوی صورت پرسش را می‌رساند. یک شرط برابری به شکل $abc=1$ داریم، اگر شرط دوم یعنی $a^3>36$ هم به شکل برابری می‌بود می‌شد از روش ضریب‌های لاگرانژ استفاده کرد (برای خواندن پست‌های مرتبط با ضریب‌های لاگرانژ در این سایت بر روی اینجا کلیک کنید). اما نگران نباشید! همیشه بر روی عددهای حقیقی ترفندهای زیادی وجود دارد. به جای نوشتنِ $a^3>36$ می‌توانیم یک متغیر کمکی خودمان تعریف کنیم مانند $s$ و بنویسیم $a^3-36=s^2$ نه؟ پس به بهای افزودن یک متغیر اضافه‌تر پرسش را زیر کنترل روش مورد نظرمان می‌آوریم. پس شرایط‌مان می‌شوند؛
\begin{align}
G_1(a,b,c) &= abc-1\\
G_2(a,s) &= a^3-36-s^2
\end{align}
اکنون دو متغیر کمکی لاگرانژ $\lambda_1$ و $\lambda_2$ را هم می‌افزائیم و تعریف می‌کنیم؛
$$H(a,b,c,s,\lambda_1,\lambda_2)=F(a,b,c)+\lambda_1G_1(a,b,c)+\lambda_2G_2(a,s)$$
از اینجا به بعد روال همیشگی را داریم. باید دستگاه زیر را تشکیل و حل کنیم.
$$\frac{\partial H}{\partial a}=\frac{\partial H}{\partial b}=\frac{\partial H}{\partial c}=\frac{\partial H}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial \lambda_1}=\frac{\partial H}{\partial \lambda_2}=0$$
برای حل آن دوباره از نرم‌افزار کمک گرفته‌ایم ولی اگر تمایل داشتید می‌توانید با دست امتحان کنید :) من در اینجا از Mathematica استفاده کردم.
F = a^2/3 + b^2 + c^2 - a*b - a*c - b*c;
Subscript[G, 1] = a*b*c - 1;
Subscript[G, 2] = a^3 - 36 - s^2;
H = F + Subscript[l, 1]*Subscript[G, 1] +
Subscript[l, 2]*Subscript[G, 2];
sols = Solve[
D[H, a] == 0 && D[H, b] == 0 && D[H, c] == 0 && D[H, s] == 0 &&
D[H, Subscript[l, 1]] == 0 && D[H, Subscript[l, 2]] == 0, {a, b,
c, s, Subscript[l, 1], Subscript[l, 2]}, Reals];
For[i = 1, i <= Length[sols], i++,
Print[N[ReplaceAll[sols[[i]]][F]]]
]
که چهار پاسخ حقیقی برای دستگاه برابری‌ها می‌دهد و در مقدار تابع $F$ در این چهار نقطه برابر با مقدارهای زیر است.
$$7.57134,\;
4.44089\times 10^{-16},\;
0.302853,\;
5.55112\times 10^{-16}$$
البته مقدارها را تقریب زده‌ایم ولی نتیجه مشخص است. اگر فکر می‌کنید. بعلاوه اگر به نقطه‌ها توجه کنید در هر چهار نقطه $s=0$ درآمده است که یعنی بر روی مرز شرط $a^3>36$ این اکسترمم‌ها روی داده‌اند. اگر فکر می‌کنید که در دو نقطه از چهار نقطهٔ بالا مقدار تابع دقیقا صفر می‌شود و نامساوی حکم پرسش مساوی می‌شود، باید توجه کنید که شرط دوم مسأله نامساوی اکید بود و $s$ حق ندارد دقیقا صفر شود، پس فقط می‌تواند به آن میل کند که این نشان می‌دهد که مقدار تابع $F$ نیز تنها می‌تواند به دو مقداری که فکر می‌کنید صفر هستند میل کند و نه برابر آنها بشود.
