به نام خدا.
می توان نوشت:
$log(abc)=11=log(a)+log(bc) \Longrightarrow 11- log(a)=log(bc)$
به طور مشابه می توان نوشت:
$11-logb=log(ac)$
$11-logc=log(ab)$
برای راحتی کار می نامیم:
$loga=x ,\space logb=y , \space logc=z$
حال می توان نوشت:
$log(a) log(bc)+ log(b) log(ac)+ log (c) log(ab)=40 \Longrightarrow x(11-x) + y(11-y) +z (11-z)=40 \Longrightarrow 11(x+y+z)- (x^2+y^2+z^2)=40$
تساوی را به شکل دیگری نیز می نویسیم:
$log(a) log(bc)+ log(b) log(ac)+ log (c) log(ab)=40 \Longrightarrow x(y+z) + y(x+z) +z (x+y)=40 \Longrightarrow 2(xy+yz+xz)=40$
حال دو تساوی آخر را از هم کم می کنیم:
$11(x+y+z)- (x^2+y^2+z^2)- 2(xy+yz+xz)=0 \Longrightarrow 11(x+y+z)-(x+y+z)^2=0 \Longrightarrow (x+y+z)(11-(x+y+z))=0 \Longrightarrow x+y+z=0 \space \vee x+y+z=11$
حال به تساوی $11(x+y+z)- (x^2+y^2+z^2)=40$ بر می گردیم. اگر $x+y+z=0$ باشد آنگاه $x^2+y^2+z^2$ برابر بر عدد منفی می شود که غیر قابل قبول است. پس:
$(x+y+z)=11 \Longrightarrow 121-40=81=x^2+y^2+z^2$