Question

اگر:

$$abc=10^{11}$$

و:

$$\log(a)\log(bc)+\log(b)\log(ac)+\log(c)\log(ab)=40$$

آنگاه $(\log(a))^2+(\log(b))^2+(\log(c))^2$ برابر چند است؟

Comments

با سلام
سوالی که در المپیاد 1400 آمده بود به صورت حاصل $(log(a))^2+(log(b))^2+(log(c))^2$ رو میخواست، که در سوالتون اصلاح می کنم.

Answer 1

$$bc= \frac{ 10^{11} }{a}, ac= \frac{ 10^{11} }{b},ab= \frac{ 10^{11} }{c}$$ $$\Rightarrow log(a).log( \frac{ 10^{11} }{a})+log(b).log( \frac{ 10^{11} }{b})+log(c).log( \frac{ 10^{11} }{c})=40$$ $$\Rightarrow log(a).(log( 10^{11} )-log(a))+log(b).(log( 10^{11} )-log(b))+log(c).(log( 10^{11} )-log(c))=40$$ $$-[(log(a))^2+(log(b))^2+(log(c))^2]+11(log(abc))=40$$ $$11log(abc)=121$$ $$\Longrightarrow (log(a))^2+(log(b))^2+(log(c))^2=81$$

پاسخ سوال برابر 81 است.

Answer 2

به نام خدا.

می توان نوشت:

$log(abc)=11=log(a)+log(bc) \Longrightarrow 11- log(a)=log(bc)$

به طور مشابه می توان نوشت:

$11-logb=log(ac)$

$11-logc=log(ab)$

برای راحتی کار می نامیم:

$loga=x ,\space logb=y , \space logc=z$

حال می توان نوشت:

$log(a) log(bc)+ log(b) log(ac)+ log (c) log(ab)=40 \Longrightarrow x(11-x) + y(11-y) +z (11-z)=40 \Longrightarrow 11(x+y+z)- (x^2+y^2+z^2)=40$

تساوی را به شکل دیگری نیز می نویسیم:

$log(a) log(bc)+ log(b) log(ac)+ log (c) log(ab)=40 \Longrightarrow x(y+z) + y(x+z) +z (x+y)=40 \Longrightarrow 2(xy+yz+xz)=40$

حال دو تساوی آخر را از هم کم می کنیم:

$11(x+y+z)- (x^2+y^2+z^2)- 2(xy+yz+xz)=0 \Longrightarrow 11(x+y+z)-(x+y+z)^2=0 \Longrightarrow (x+y+z)(11-(x+y+z))=0 \Longrightarrow x+y+z=0 \space \vee x+y+z=11$

حال به تساوی $11(x+y+z)- (x^2+y^2+z^2)=40$ بر می گردیم. اگر $x+y+z=0$ باشد آنگاه $x^2+y^2+z^2$ برابر بر عدد منفی می شود که غیر قابل قبول است. پس:

$(x+y+z)=11 \Longrightarrow 121-40=81=x^2+y^2+z^2$