Question

ثابت کنید:$(x-a)^2(b-c)+(x-b)^2(c-a)+(x-c)^2(a-b)+(a-b)(b-c)(c-a)=0$

Answer 1

$x-a=w$ و $x-b=y$ و $x-c=z$ در این صورت داریم $b-c=z-y$ و $c-a=w-z$ و $a-b = y-w$ :

$w^2(z-y)+y^2(w-z)+z^2(y-w)+(y-w)(z-y)(w-z)=(z-y)(wy+zw-zy)+y^2w-y^2z+z^2y-z^2w=$

$(z-y )(wy+zw-zy)+yz(z-y)-w(y+z)(z-y)= (z-y)(wy+zw-zy+yz-wy-wz)=0$