اگر $a>0$ و $ax^2+bcx+b^3+c^3-4abc$ بدون ریشه باشد، نشان دهید $ax^2+cx+b$ یا $ax^2+bx+c$ باید همواره مثبت باشد.

Question

اگر $a>0$ و چندجمله‌ای درجه دوم

$$P(x)=ax^2+bcx+b^3+c^3-4abc$$

ریشه حقیقی نداشته باشد، نشان دهید دقیقاً یکی از چندجمله‌ای‌های زیر همواره مثبت است:

$$P_{1} (x)=ax^2+cx+b,\quad P_{2} (x)=ax^2+bx+c$$

Comments

من الان توجه کردم که شما یک برچسب "چند" تولید کردید!
کسایی که امتیازشون به 1000 میرسه میتونن برچسب تولید کنن. مواظب باشید برچسب اشتباهی تولید نکنید و لطفا این برچسب رو حذف کنید.

---

عذررمیخوام  .  مشکل حل شد ؟

Answer 1

اینکه $P(x)$ ریشه حقیقی ندارد یعنی $\Delta$ آن منفی خواهد بود پس: $$(bc)^2-4a(b^3+c^3-4abc)< 0\tag{*}\label{*}$$

حال به برهان خلف فرض کنیم $P_1,P_2$ ریشه داشته باشند پس $\Delta$ ی هر دوی آنها باید بزرگتر مساوی صفر باشد یعنی $$b^2-4ac\geq 0\\ c^2-4ab\geq 0$$ با ضرب این دو در هم خواهیم داشت: $$(bc)^2-4a(b^3+c^3-4abc)\geq 0$$ که با $\eqref{*}$ در تناقض است.