آیا $ax^2+bx+c$ و $(a+1)x^2+(b+1)x+(c+1)$ می توانند همزمان ریشهٔ صحیح داشته باشند؟

Question

آیا می‌توان عددهای صحیح $a$ و $b$ و $c$ای یافت که دو چندجمله‌ایِ درجهٔ دوی $ax^2+bx+c$ و $(a+1)x^2+(b+1)x+(c+1)$ هر دو دارای ریشهٔ صحیح باشند؟

---

پاسخ آن را به زبان انگلیسی یافتم ولی متوجه نمی‌شوم. ممنون می‌شوم یکی از اساتید آن را ترجمه یا یک راهی دیگر برای پاسخ ارائه دهد.

No. Without loss of generality, assume $a$ is even (or else replace $a$ by $−1 − a$). If $ax^2 + bx + c$ has integer roots, then a must divide $b$ and $c$, so $b$ and $c$ are even. But now the polynomial $(a+ 1)x ^2 +(b+ 1)x+ (c+ 1)$ has odd coefficients, and so cannot have integer roots, since $(b + 1)^2 − 4(a + 1)(c + 1)\equiv 5(mod8)$

Comments

@ناصر آهنگرپور : بسیار ممنونم از شما استاد گرامی. به نظرم برای زمانی که a عددی فرد است، از چند جمله ای دوم به اول برویم یعنی چون a+1 زوج است، با توجه به قضیه ویت پس c+1,b+1 باید زوج باشند که الزام بر فرد بودن b,c می شود.

Answer 1

طبق مطالب مندرج در کتاب «Mathematical Olympiads 1997-1998 Problems and Solutions from around the world» چاپ شده توسط انتشارات «Mathematical Association of America» بخش ۱.۱۸ آخر صفحهٔ ۹۸، پرسش ۳۶، پرسش شماست که پاسخ نیز به اختصار داده شده‌است. پاسخ را به شکل زیر ترجمه کرده‌ام: «خیر، بدون ازدست دادن کلیت، فرض کنید $a$ زوج است (یا اینکه $a$ را با $−1−a$ جایگزین کنید). اگر $ax^2+bx+c$ ریشه‌های صحیح داشته باشد، آنگاه $a$ باید $b$ و $c$ را عاد کند. بنابراین $b$ و $c$ زوج هستند. ولی اکنون چندجمله‌ای $(a+1)x^2+(b+1)x+(c+1)$ ضرایب فرد دارد و بنابراین نمی‌تواند ریشه‌های صحیح داشته باشد زیرا $(b+1)^2−4(a+1)(c+1)\equiv 5(\text{mod}8)$. یعنی بعبارت صریحتر دلتا در تقسیم بر ۸، باقیمانده ۵ خواهد داشت. علتش هم واضح است. بدلیل زوج بودن a,b,c اگر جملات دلتا را بصورت گسترده بنویسیم همه جملات بر ۸ قابل قسمت است و فقط ۵ را بعنوان باقیمانده خواهد داشت. علت اینکه همنهشت ۵ شدن به پیمانهٔ ۸ ثابت می‌کند که عددتان مربع نیست بسیار ساده است. فرض خلف کنید که یک عدد دیگر وجود دارد که عدد اولتان توان دوی آن است. عدد دوم به پیمانهٔ ۸ چند حالت دارد؟ ۸ حالت ۰ و ۱ و ۲ و ... و ۷. اکنون آن را به توان دو برسانید آنگاه به پیمانهٔ ۸ چه حالت‌هایی ممکن است؟ ۰ و ۱ و ۴. چون پنج را شامل نشد به تناقض می‌خورید. از طرف دیگر اگر a فرد باشد طبق طرح سؤال، همین وضعیت برای حالت اول پیش می‌آید. یعنی b,c نیز فرد خواهند بود. بنابراین دو معادله فوق نمی‌توانند همزمان ریشه صحیح داشته باشند.