نشان دهید دو عدد $a$ و $b$ وجود دارند طوری که هر دو صحیح و حداقل یکی ناصفر و $| a | , \space | b |<1000$ و $| a+b \sqrt{2} | < \frac{1}{400}$

Question

ثابت کنید اعداد صحیح $a$ و $b$ وجود دارند به طوری که حداقل یکی از آن ها ناصفر باشد و قدر مطلق هر یک از $1000$ کوچک تر باشد و

$| a+b \sqrt{2} | < \frac{1}{400}$

Comments

بنظرم سوال بدیهی مثلا b برابر صفر بگیرید  در این صورت کافی است  a از یک هزارم کوچکتر بگیرید مثلا a  برابر  یک دوهزار م
 بگیرید

---

@amir7788 در این صورت $a$ صحیح نیست.

---

@amir7788 من در عنوان سوال صحیح بودن دو عدد را جا انداخته بودم. اکنون تصحیح شد.

Answer 1

به نام خدا.

امروز پس از جست و جو بسیار مرجع سوال را یافتم. در پرسشم آدرس مرجعم را قرار دادم :-)⁩

پاسخی که اکنون می نویسم همان پاسخ کتاب است ولی به نظرم کتاب اندکی کم توضیح داده است و من در این جا بیشتر توضیح می دهم.

کلیه اعداد به صورت $x+y \sqrt{2}$ را در نظر بگیرید که $x,y$ متعلق به مجموعه ی {$0,1,2...,999$} باشند. تعداد این اعداد برابر است با $1000^2$، کوچکترین این اعداد برابر صفر و بزرگترین این اعداد برابر $999(1+ \sqrt{2} )$ است. چون

$999(1+ \sqrt{2} )< 2500$ لذا چنان چه بازه ی $[0,2500)$ را به یک میلیون بازه که طول هر یک برابر $\frac{2500}{1000000} = \frac{1}{400}$ باشد تقسیم کنیم، آن گاه حداقل دو تا از این اعداد مثلاً $x_1+y_1 \sqrt{2}$ و $x_2+y_2 \sqrt{2}$ در یک بازه قرار می گیرند.

امکان دارد این سوال پیش آید که بگویید یک میلیون عدد در یک میلیون بازه قرار دارند، پس الزامی ندارد که دو عدد در یک بازه باشند.

در پاسخ باید گفت که این یک میلیون عدد در بعضی از بازه ها قرار ندارند. به نامساوی زیر دقت کنید:

$999(1+ \sqrt{2} )< 999(1+1.5)=999(2.5)=2497.5$

آخرین بازه ای که می نویسیم، بازه

$[2499.9975\space,\space2500)$

که با توجه با نامساوی بالا، در این بازه هیچ عددی نداریم.

پس می توان گفت:یک میلیون عدد در کمتر از یک میلیون بازه هستند. پس طبق اصل لانه کبوتری بازه ای داریم که در آن حداقل دو عدد به شکلی که گفتیم در آن قرار داشته باشند

در نتیجه:

$| x_1+y_1 \sqrt{2} -(x_2+y_2 \sqrt{2} | < \frac{1}{400}$

فرض کنید$a=x_1-x_2$ و $b=y_1-y_2$ در این صورت $| a+b \sqrt{2} | < \frac{1}{400}$ همچنین حداقل یکی از $a,b,$ ناصفر است و چون $x_1,x_2,y_1,y_2$ همگی متعلق به مجموعه{$0,1,...,999$} هستند، پس:

$| a | = | x_1-x_2 | < 1000,\space \space | b | = | y_1-y_2 | < 1000$

Comments

البته توجه کنید که صفر شدن یکی باعث صفر شدن دیگری می شود  بنابراین چنین حالتی اتفاق نمی افتد
$$a=0 \Leftrightarrow b=0$$