به نام خدا.
امروز پس از جست و جو بسیار مرجع سوال را یافتم. در پرسشم آدرس مرجعم را قرار دادم :-)
پاسخی که اکنون می نویسم همان پاسخ کتاب است ولی به نظرم کتاب اندکی کم توضیح داده است و من در این جا بیشتر توضیح می دهم.
کلیه اعداد به صورت $x+y \sqrt{2} $ را در نظر بگیرید که $x,y$ متعلق به مجموعه ی {$0,1,2...,999$} باشند. تعداد این اعداد برابر است با $1000^2$، کوچکترین این اعداد برابر صفر و بزرگترین این اعداد برابر $999(1+ \sqrt{2} )$ است. چون
$999(1+ \sqrt{2} )< 2500$
لذا چنان چه بازه ی
$[0,2500)$
را به یک میلیون بازه که طول هر یک برابر
$ \frac{2500}{1000000} = \frac{1}{400} $
باشد تقسیم کنیم، آن گاه حداقل دو تا از این اعداد مثلاً $x_1+y_1 \sqrt{2} $ و $x_2+y_2 \sqrt{2} $ در یک بازه قرار می گیرند.
امکان دارد این سوال پیش آید که بگویید یک میلیون عدد در یک میلیون بازه قرار دارند، پس الزامی ندارد که دو عدد در یک بازه باشند.
در پاسخ باید گفت که این یک میلیون عدد در بعضی از بازه ها قرار ندارند. به نامساوی زیر دقت کنید:
$999(1+ \sqrt{2} )< 999(1+1.5)=999(2.5)=2497.5$
آخرین بازه ای که می نویسیم، بازه
$[2499.9975\space,\space2500)$
که با توجه با نامساوی بالا، در این بازه هیچ عددی نداریم.
پس می توان گفت:یک میلیون عدد در کمتر از یک میلیون بازه هستند. پس طبق اصل لانه کبوتری بازه ای داریم که در آن حداقل دو عدد به شکلی که گفتیم در آن قرار داشته باشند
در نتیجه:
$ | x_1+y_1 \sqrt{2} -(x_2+y_2 \sqrt{2} | < \frac{1}{400} $
فرض کنید$a=x_1-x_2$ و $b=y_1-y_2$ در این صورت
$ | a+b \sqrt{2} | < \frac{1}{400} $
همچنین حداقل یکی از $a,b,$ ناصفر است و چون $x_1,x_2,y_1,y_2$ همگی متعلق به مجموعه{$0,1,...,999$} هستند، پس:
$ | a | = | x_1-x_2 | < 1000,\space \space | b | = | y_1-y_2 | < 1000$
