به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
70 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Elyas1 (4,212 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

ثابت کنید اعداد صحیح $a$ و $b$ وجود دارند به طوری که حداقل یکی از آن ها ناصفر باشد و قدر مطلق هر یک از $1000$ کوچک تر باشد و

$ | a+b \sqrt{2} | < \frac{1}{400} $

مرجع: کتاب آنالیز ترکیبی آقای دکتر علیرضا علیپور_ انتشارات نشر الگو_ صفحه122_ مسئله15
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
بنظرم سوال بدیهی مثلا b برابر صفر بگیرید  در این صورت کافی است  a از یک هزارم کوچکتر بگیرید مثلا a  برابر  یک دوهزار م
 بگیرید
توسط Elyas1 (4,212 امتیاز)
@amir7788 در این صورت $a$ صحیح نیست.
توسط Elyas1 (4,212 امتیاز)
+1
@amir7788 من در عنوان سوال صحیح بودن دو عدد را جا انداخته بودم. اکنون تصحیح شد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Elyas1 (4,212 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

به نام خدا.

امروز پس از جست و جو بسیار مرجع سوال را یافتم. در پرسشم آدرس مرجعم را قرار دادم :-)⁩

پاسخی که اکنون می نویسم همان پاسخ کتاب است ولی به نظرم کتاب اندکی کم توضیح داده است و من در این جا بیشتر توضیح می دهم.

کلیه اعداد به صورت $x+y \sqrt{2} $ را در نظر بگیرید که $x,y$ متعلق به مجموعه ی {$0,1,2...,999$} باشند. تعداد این اعداد برابر است با $1000^2$، کوچکترین این اعداد برابر صفر و بزرگترین این اعداد برابر $999(1+ \sqrt{2} )$ است. چون

$999(1+ \sqrt{2} )< 2500$ لذا چنان چه بازه ی $[0,2500)$ را به یک میلیون بازه که طول هر یک برابر $ \frac{2500}{1000000} = \frac{1}{400} $ باشد تقسیم کنیم، آن گاه حداقل دو تا از این اعداد مثلاً $x_1+y_1 \sqrt{2} $ و $x_2+y_2 \sqrt{2} $ در یک بازه قرار می گیرند.

امکان دارد این سوال پیش آید که بگویید یک میلیون عدد در یک میلیون بازه قرار دارند، پس الزامی ندارد که دو عدد در یک بازه باشند.

در پاسخ باید گفت که این یک میلیون عدد در بعضی از بازه ها قرار ندارند. به نامساوی زیر دقت کنید:

$999(1+ \sqrt{2} )< 999(1+1.5)=999(2.5)=2497.5$

آخرین بازه ای که می نویسیم، بازه

$[2499.9975\space,\space2500)$

که با توجه با نامساوی بالا، در این بازه هیچ عددی نداریم.

پس می توان گفت:یک میلیون عدد در کمتر از یک میلیون بازه هستند. پس طبق اصل لانه کبوتری بازه ای داریم که در آن حداقل دو عدد به شکلی که گفتیم در آن قرار داشته باشند

در نتیجه:

$ | x_1+y_1 \sqrt{2} -(x_2+y_2 \sqrt{2} | < \frac{1}{400} $

فرض کنید$a=x_1-x_2$ و $b=y_1-y_2$ در این صورت $ | a+b \sqrt{2} | < \frac{1}{400} $ همچنین حداقل یکی از $a,b,$ ناصفر است و چون $x_1,x_2,y_1,y_2$ همگی متعلق به مجموعه{$0,1,...,999$} هستند، پس:

$ | a | = | x_1-x_2 | < 1000,\space \space | b | = | y_1-y_2 | < 1000$

توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
+1
البته توجه کنید که صفر شدن یکی باعث صفر شدن دیگری می شود  بنابراین چنین حالتی اتفاق نمی افتد
$$a=0 \Leftrightarrow b=0$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...