Question

9 عدد حقیقی متمایز مفروضند. نشان دهید حداقل دو عدد x,y از این 9 عدد وجود دارند به طوری که:

$$0 < \frac{x-y}{1+xy} < \sqrt{2} -1$$

Comments

این سوال رو خودم حل نکردم اما ایدش رو میگم چون به ذهن خیلی سخت میرسه؛ کافی است x,y رو تانژانت یک زاویه در منفی پی دوم تا مثبت پی دوم بگیریم و با استفاده از اصل لانه کبوتری به سوال پاسخ بدیم...

---

استدلالشو من آوردم.

Answer 1

هر یک از این نه عدد را روی محور تانژانت ها مشخص کنید(این کار مقدوره).حالا ناحیۀ اول و چهارم مثلثاتی را به هشت زاویۀ برابر یعنی $\frac{ \pi }{8}$ تقسیم کنید و زاویه ها را رسم کنید تا یک ضلعشان محور تانژانتها را قطع کند.این نقلط تقاطع محور تانژانتها را به به هشت قسمت تقسیم می کنند.بنا به اصل لانه کبوتری حداقل یک قسمت وجود دارد که شامل حداقل دو نقطه مانند $x$ و $y$ است.اگر $x>y$ داریم:

$\Rightarrow \exists \theta _1, \theta _2|x=Tan \theta _1,y=Tan \theta _2,0< \theta 1- \theta _2< \frac{ \pi }{8}$

$\Rightarrow Tan0< Tan( \theta _1- \theta _2)< Tan( \frac{ \pi }{8} ) \Rightarrow 0< \frac{Tan\theta _1-Tan \theta _1}{1+Tan \theta _1Tan \theta _1} < \sqrt{2}-1$(چرا؟) $\Rightarrow 0< \frac{x-y}{1+xy} < \sqrt{2}-1$

$\Box$