هر یک از این نه عدد را روی محور تانژانت ها مشخص کنید(این کار مقدوره).حالا ناحیۀ اول و چهارم مثلثاتی را به هشت زاویۀ برابر یعنی $ \frac{ \pi }{8} $ تقسیم کنید و زاویه ها را رسم کنید تا یک ضلعشان محور تانژانتها را قطع کند.این نقلط تقاطع محور تانژانتها را به به هشت قسمت تقسیم می کنند.بنا به اصل لانه کبوتری حداقل یک قسمت وجود دارد که شامل حداقل دو نقطه مانند $x$ و $y$ است.اگر $x>y$ داریم:
$ \Rightarrow \exists \theta _1, \theta _2|x=Tan \theta _1,y=Tan \theta _2,0< \theta 1- \theta _2< \frac{ \pi }{8} $
$ \Rightarrow Tan0< Tan( \theta _1- \theta _2)<Tan( \frac{ \pi }{8} ) \Rightarrow 0< \frac{Tan\theta _1-Tan \theta _1}{1+Tan \theta _1Tan \theta _1} < \sqrt{2}-1$(چرا؟) $\Rightarrow 0<\frac{x-y}{1+xy} <\sqrt{2}-1$
$ \Box $
