Question

نشان دهید که: $$\int _0^1 \int _0^1 \frac{ \sqrt{x} + \sqrt{y} }{(1-xy) \sqrt{ \sqrt{xy} } } dxdy=4(4- \pi )$$

Answer 1

$$I= \int _0^1 \int _0^1( \sqrt{x} + \sqrt{y} )[ \frac{ (xy)^{ \frac{-1}{4} } }{1-xy} ]dxdy$$ سری هندسی: $$I= \int _0^1 \int _0^1( \sqrt{x} + \sqrt{y} ) \sum _ {n=0} ^ \infty (xy)^{n- \frac{1}{4} } dxdy= \sum _ {n=0} ^ \infty \int _0^1 \int _0^1( x^{n+ \frac{1}{4} } y^{n- \frac{1}{4} } + x^{n- \frac{1}{4} } y^{n+ \frac{1}{4} } )dxdy= \sum _ {n=0} ^ \infty \int _0^1[( \frac{ y^{n- \frac{1}{4} } }{n+ \frac{5}{4} } )+( \frac{ y^{n+ \frac{5}{4} } }{n+ \frac{3}{4} } )]dy = \sum _ {n=0} ^ \infty \frac{2}{(n+ \frac{3}{4} )(n+ \frac{5}{4} )} =2× \frac{1}{ \frac{5}{4} - \frac{3}{4} } \sum _ {n=0} ^ \infty ( \frac{1}{n+ \frac{3}{4} } - \frac{1}{n+ \frac{5}{4} } )=4[ \sum _ {n=0} ^ \infty ( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+ \frac{5}{4} } )- \sum _ {n=0} ^ \infty ( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+ \frac{3}{4} } )]=4[ \psi ( \frac{5}{4} )- \psi ( \frac{3}{4} )]=4[ \psi (1+ \frac{1}{4} )- \psi (1- \frac{1}{4} )]=4(4- \pi )$$ $$\ast \psi (1+z)- \psi (1-z)= \frac{1}{z} - \pi cot( \pi z) \ast$$

Comments

راه حل جالبیست.البته نشان دادن همگرایی یکنواخت سریها لازم است که واضحه.
آیا مستقیم و بدون استفاده از سری میشه انتگرال را به دست آورد؟

---

راه حل ساده ای که ارائه شده، یکی از راه حل های این مسئله است.