Question

نشان دهید: $$ \int _0^ \frac{ \pi }{4} cosx \sqrt{ln( \frac{ cosec^{2} x}{2} )} = \frac{ \sqrt{ \pi } }{2} $$

Answer 1

با تغییر متغیر داریم:

$u= \sqrt{Ln( \frac{cosec^2x}{2} )}= \sqrt{Ln( \frac{1}{2Sin^2x} )}= \sqrt{-Ln(2Sin^2x)} \Rightarrow u^2=-Ln(2Sin^2x)>0$

$ \Rightarrow 2udu= -\frac{2 \times 2Siinx.Cosx}{2Sin^2x}dx \Rightarrow udu= -\frac{Cosxdx}{Sinx} \Rightarrow uCosxdx=-u^2Sinxdu$

از طرفی دیگر داریم:

$u^2=-Ln(2Sin^2x) \Rightarrow 2Sin^2x=e^{-u^2} \Rightarrow Sinx= \frac{1}{ \sqrt{2} } e^{ \frac{-u^2}{2} }$

حالا برای کرانها داریم:

$ \lim_{x\to 0^+} u=+ \infty , u|_{x= \frac{ \pi }{4} }=\sqrt{-Ln(2Sin^2 \frac{ \pi }{4} )}=\sqrt{-Ln(2 \times \frac{1}{2} )}=\sqrt{-Ln1}= \sqrt{0} =0$

$ \Rightarrow \int _0^{ \frac{ \pi }{4} }Cosx.\sqrt{Ln( \frac{cosec^2x}{2} )}=- \frac{1}{ \sqrt{2} } \int _0^ \infty u^2e^{-\frac{u^2}{2} }du=\frac{1}{ \sqrt{2} }[ue^{- \frac{u^2}{2} }]_0^ \infty +\frac{1}{ \sqrt{2} } \int _0^ \infty e^{- \frac{u^2}{2} }du$

$=0+\frac{1}{ \sqrt{2} }\int _0^ \infty e^{- \frac{u^2}{2} }du=\frac{1}{ \sqrt{2}\sqrt{2} } \sqrt{ \pi } = \frac{ \sqrt{ \pi } }{2} $

$ \Box $