Question

نشان دهید که: $$ \int _0^ \infty \frac{Arccot( \alpha \sqrt{x}) }{1+x} dx= \pi ln(1+ \frac{1}{ \alpha } )$$ $$ \int _0^ \infty \frac{Arccot( \alpha \sqrt{x} )}{ (1+x)^{2} } dx= \frac{ \pi }{2} \frac{1}{(1+ \alpha) } $$

Comments

$$I'( \alpha )=- \int _0^ \infty  \frac{ \sqrt{x} }{1+x+  \alpha ^{2} x} dx \wedge  u^{2} =x \Longrightarrow I'( \alpha )= \frac{-2}{  \alpha ^{2} -1}  \int _0^ \infty  \frac{(1+  \alpha ^{2}  u^{2} )-(1+ u^{2} )}{(1+  \alpha ^{2}  u^{2} )(1+ u^{2} )} du= \frac{ \pi }{  \alpha ^{2} -1} [ \frac{1}{ \alpha } -1] \Longrightarrow I( \alpha )= \pi ln  | 1+ \frac{1}{ \alpha }  | +C \wedge C=0$$

---

$$I= \int _0^ \infty  \frac{Arccot( \alpha  \sqrt{x} )}{ (1+x)^{2} } dx= \int _0^ \infty Arccot ( \alpha  \sqrt{x} )d( \frac{-1}{x+1} )= \frac{ \pi }{2} - \frac{ \alpha }{2}  \int _0^ \infty  \frac{1}{ \sqrt{x} }  \frac{1}{1+x}  \frac{1}{1+  \alpha ^{2} x} dx \wedge  t^{2} =x \Longrightarrow I=  \frac{ \pi }{2} - \frac{ \alpha }{2}  \int _0^ \infty  \frac{1}{t}  \frac{1}{1+ t^{2} }  \frac{2t}{1+  \alpha ^{2}  t^{2} } dt= \frac{ \pi }{2} - \frac{  \alpha ^{2}}{  \alpha ^{2} -1}  \frac{ \pi }{2} + \frac{ \alpha }{  \alpha ^{2} -1}  \frac{ \pi }{2} =?$$

Answer 1

تابع $I$ را روی بازۀ $(0, \infty )$ به صورت زیر تعریف کنید:

$I (\alpha ):\int _0^ \infty \frac{Arccot( \alpha \sqrt{x} )}{1+x} dx \Rightarrow I'( \alpha )= \int _0^ \infty \frac{- \sqrt{x} }{(1+ \alpha ^2x)(1+x)} dx$

حالا تغیر متغیر $u= \sqrt{x} $ را اعمال کنید:

$u= \sqrt{x} \Rightarrow dx=2udu,u(0)=0, \lim_{x\to \infty } u= \infty $

$if a \neq 1:I'( \alpha )=-2 \int _0^ \infty \frac{u^2}{(1+ \alpha ^2u^2)(1+u^2)} dx=-2 \frac{1}{1- \alpha ^2} (\int _0^ \infty \frac{1}{1+ \alpha ^2u^2} du -\int _0^ \infty \frac{1}{1+u^2} du)$

$=-2 \frac{1}{1- \alpha ^2} ( \frac{ \pi }{ 2\alpha } - \frac{ \pi }{2} )=\pi \frac{1}{ \alpha ( \alpha +1)} =\pi ( \frac{1}{ \alpha +1} - \frac{1}{ \alpha } )$

حالا اگر مشتق $a=1$ را به کمک تعریف مستقیم مشق در نقطه بررسی کنیم متوجه می شویم تابع مشقق بالا برای $a=1$ نیز درست است.

$ \Rightarrow I( \alpha )= \pi (Ln( \alpha +1)-Ln \alpha )+C= \pi Ln(1+ \frac{1}{ \alpha } )+C$

از طرفی دیگر:

$I(1)= \pi Ln2 ($چرا؟$) \Rightarrow C=0 \Rightarrow I( \alpha )= \pi Ln(1+ \frac{1}{ \alpha } )$

حالا اگر $ \alpha <0$ داریم:

$arccot( \alpha \sqrt{x} )= \pi -arccot( -\alpha \sqrt{x} )$

و چون انتگرال $ \int _0^ \infty \frac{ \pi }{1+x} dx$ موجود نیست پس $I( \alpha )$ هم موجود نیست.همچنین:

$I(0)= \frac{ \pi }{2} \int _0^ \infty \frac{1}{1+x} dx$

نیز موجود نیست.

$ \Box $