نشان دهید: $$ \int _0^ \infty \frac{ln( \frac{ \pi }{2}-Arctan x)}{1+ x^{2} } dx= \frac{ \pi }{2} [ln( \frac{ \pi }{2} ) -1]$$

Question

نشان دهید: $$ \int _0^ \infty \frac{ln( \frac{ \pi }{2}-Arctan x)}{1+ x^{2} } dx= \int _0^ \infty \frac{lnArctanx}{1+ x^{2} }dx= \frac{ \pi }{2} [ln( \frac{ \pi }{2} ) -1]$$

Comments

پاسخ هایی که فقط حاوی لینک هستند را باید در دیدگاه بفرستید.
در ضمن سوالات دریافتی از طرف شما خیلی زیاد بوده و امکان انتشار آن در زمان کم ممکن نیست. به نظر میرسه وقت رو برای پاسخ دادن بذارید فعلا بهتره. ممنون.

---

https://s15.uupload.ir/files/mansour4887/Doc6.pdf?download

Answer 1

قرار دهید:

$u= \frac{ \pi }{2} -tan^{-1}x \Rightarrow x=tan( \frac{ \pi }{2}-u) \Rightarrow dx=-(1+tan^2( \frac{ \pi }{2} -u)du=(1+x^2)du$

و

$$ \Rightarrow \int _0^ \infty \frac{ Ln( \frac{ \pi }{2} -tan^{-1}x)}{1+x^2} dx= - \int _{ \frac{ \pi }{2} }^0 Lnu du = -[u Lnu-u]_{ \frac{ \pi }{2} }^0$$

$= -\frac{ \pi }{2}( \lim_{u\to 0} (uLnu-u)+\frac{ \pi }{2}Ln\frac{ \pi }{2}-\frac{ \pi }{2}= 0+\frac{ \pi }{2}Ln\frac{ \pi }{2}-\frac{ \pi }{2}=\frac{ \pi }{2}(Ln\frac{ \pi }{2}-1)$

$ \Box $