Question

نشان دهید: $$ \int _0^ \infty \frac{x- \sqrt{x} }{x} . \frac{lnx}{ (1+x)^{2} }dx= \pi \leadsto u^{2} = \frac{1}{x} $$

Answer 1

$$I= \int _0^ \infty (1- \frac{1}{ \sqrt{x} } ) \frac{lnx}{ (1+x)^{2} } dx \leadsto u^{2} =x \leadsto \int _0^ \infty (1-u) \frac{-2lnu}{ (1+ u^{2} )^{2} } . u^{4} . \frac{-2}{ u^{3} } du=-4 \int _0^ \infty \frac{(1-u)ulnu}{ (1+ u^{2} )^{2} } du \leadsto u=tan \theta \leadsto I=4 \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{tan \theta (tan \theta -1) sec^{2} \theta }{ sec^{4} \theta } d \theta =4 \int _0^ \frac{ \pi }{2} [ sin^{2} - cos^{2} ]lntan \theta d \theta =-4 [\int _0^ \frac{ \pi }{2} lntan \theta d( \frac{sin2 \theta }{2} )]= \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{2sin \theta cos \theta }{ cos^{2} \theta } \frac{cos \theta }{sin \theta } =2 \theta \mid _{0} ^ \frac{ \pi }{2} = \pi $$

Comments

ببخشید دو تا سوال:
sin² منهای cos² میشه منفی cos2x شما چرا نوشتی
sin2x?
بعد ln یهو کجا رفته؟

---

سینوس داخل عملگر دیفرانسیل قرار گرفته. ویک مرحله از جواب جا افتاده.که اصلاح می‌کنم.در ضمن عملگر  تتا d ,در زیر انتگرال از قلم افتاده.

---

جواب مرتب نیست. ایراد هم دارد.

Answer 2

اصلاح مرحله آخر انتگرال گیری: $$I=-4[ \frac{sin2 \theta }{2}lntan \theta | _0^ \frac{ \pi }{2} - \frac{1}{2} \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{sin2 \theta }{2}. \frac{ sec^{2 \theta } }{tan \theta } ]d \theta $$