به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
37 بازدید
در دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)

نشان دهید: $$ \int _0^ \infty \frac{x- \sqrt{x} }{x} . \frac{lnx}{ (1+x)^{2} }dx= \pi \leadsto u^{2} = \frac{1}{x} $$

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط mansour (382 امتیاز)
 
بهترین پاسخ

$$I= \int _0^ \infty (1- \frac{1}{ \sqrt{x} } ) \frac{lnx}{ (1+x)^{2} } dx \leadsto u^{2} =x \leadsto \int _0^ \infty (1-u) \frac{-2lnu}{ (1+ u^{2} )^{2} } . u^{4} . \frac{-2}{ u^{3} } du=-4 \int _0^ \infty \frac{(1-u)ulnu}{ (1+ u^{2} )^{2} } du \leadsto u=tan \theta \leadsto I=4 \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{tan \theta (tan \theta -1) sec^{2} \theta }{ sec^{4} \theta } d \theta =4 \int _0^ \frac{ \pi }{2} [ sin^{2} - cos^{2} ]lntan \theta d \theta =-4 [\int _0^ \frac{ \pi }{2} lntan \theta d( \frac{sin2 \theta }{2} )]= \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{2sin \theta cos \theta }{ cos^{2} \theta } \frac{cos \theta }{sin \theta } =2 \theta \mid _{0} ^ \frac{ \pi }{2} = \pi $$

توسط Vahidi fard (249 امتیاز)
ببخشید دو تا سوال:
sin² منهای cos² میشه منفی cos2x شما چرا نوشتی
sin2x?
بعد ln یهو کجا رفته؟
توسط mansour (382 امتیاز)
ویرایش شده توسط mansour
سینوس داخل عملگر دیفرانسیل قرار گرفته. ویک مرحله از جواب جا افتاده.که اصلاح می‌کنم.در ضمن عملگر  تتا d ,در زیر انتگرال از قلم افتاده.
توسط قاسم شبرنگ (2,373 امتیاز)
جواب مرتب نیست. ایراد هم دارد.
0 امتیاز
توسط mansour (382 امتیاز)

اصلاح مرحله آخر انتگرال گیری: $$I=-4[ \frac{sin2 \theta }{2}lntan \theta | _0^ \frac{ \pi }{2} - \frac{1}{2} \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{sin2 \theta }{2}. \frac{ sec^{2 \theta } }{tan \theta } ]d \theta $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...