ریشه های معادلهٔ $3x^4-(2m+4)x^2+m=0$، ۴ جملهٔ متوالی یک تصاعد حسابی می باشند. بزرگترین ریشهٔ معادله را بیابید.

Question

ریشه‌های معادلهٔ زیر، ۴ جملهٔ متوالی یک تصاعد حسابی می‌باشند. بزرگترین ریشهٔ معادله را بیابید ($x\in \mathbb{N}$).

$3x^4-(2m+4)x^2+m=0$

کامل توضیح بدهید. با تشکر.

Comments

Arashsoltan@ منظور از x طبیعی است چیه؟ آیا منظور اینه که ریشه ها عددطبیعی اند؟

---

بله ریشه ها عدد طبیعی اند

Answer 1

• با توجه به اینکه مجموع ریشه ها صفر است پس چهار جمله متوالی دنباله حسابی با قدر نسبت مثبت 2d به صورت زیر است که 3d بزرگترین آنهاست. $$-3d, \quad - d, \quad d, \quad 3d$$

• بنابراین

  $$(x+3d)(x+d)(x-d)(x-3d)=0$$ $$x^4-10d^2 x^2 +9d^4=0$$

• در نتیجه با تناظر قرار دادن ضرایب این معادله با معادله صورت مسئله داریم

  $$m=27d^4, \quad 2m+4=30d^2$$ با حذف m داریم $$54d^4-30d^2 +4=0$$

• اما ریشه این معادله طبیعی نیست احتمالا سوال ایراد داره