در $(2m-1)x^2+6x+m-2=0$، برای یافتنِ مقادیرِ $m$ که این برابری دو ریشه داشته باشد، باید $\Delta\geq 0$ استفاده کنم یا $\Delta>0$؟

Question

محدوده $m$ را طوری بیابید که معادله درجه دوم زیر دارای 2 ریشه حقیقی باشد.

$$(2m-1)x^2+6x+m-2=0$$

هنگام برقراری شرط دلتا باید $0 \leq \Delta$ باشد یا فقط $\Delta >0$؟

Comments

@AmirHosein
درود بر استاد بزرگوار
همه چیز کاملا برایم جا افتاد و اوکی شد و خیلی ممنونم از شما
عالی بود
بله در قسمتی از استدلال از یک مفهوم به مفهوم دیگر اشتباها پرش کرده بودم و همین سبب تفهیم اشتباه مطلب شده بود
فقط در آخر یک سوال برایم می ماند اینکه فرمول مد نظر ما علاوه بر اعداد حقیقی برای مختلط ها هم جواب می‌دهد.
یعنی منظورم این است که شما در آخر صورت درستی از فرمول vieta تبیین کردید  «اگر دو ریشه داشت، جمع دو ریشه می‌شود و اگر یک ریشه داشت، دو برابرِ آن ریشه می‌شود». این کاملا اوکی. اما اگر هیچ ریشه ای نداشت چطور. باز هم این فرمول درست است. اگر میشه لطفا ضمن توضیح این مطلب، گزاره درست قبلی خودتان را یه تعمیم به کلیه حالات معادله درجه 2 بدید که این هم حل شود. ممنون میشوم

---

@Ratmin بله فرمول‌های ویته‌آ همانطور که در پیوند ویکی‌پدیایتان هم می‌بینید برای اعداد مختلط و با احتساب چندگانگی است. یعنی جمع وزن‌دار ریشه‌های مختلط. پس شکل قبلی که در دیدگاه پیشین گفته‌شد برای حالت مختلط بود. حالت حقیقی برای معادلهٔ درجهٔ دو یک شاخهٔ بیشتر هم پیدا می‌کند: «اگر دو ریشهٔ حقیقی داشت، جمع دو ریشه، اگر یک ریشهٔ حقیقی داشت، دو برابرِ آن ریشه، اگر هیچ ریشهٔ حقیقی‌ای نداشت اطلاعاتی پیرامون ریشه‌های حقیقی (که وجود هم ندارند) نمی‌دهد».

---

صحیح که اینطور
البته وقتی میفرمایید اگر هیچ ریشه حقیقی نداشته باشد، همان 2 ریشه مختلط می‌شود که مربوط به حالت قبلش می‌شود. درست است؟

---

@Ratmin بله جمع دو ریشهٔ مختلط می‌شود که مربوط به ریشه‌های حقیقی نیست.

---

احسنت به شما
تشکر فراوان از لطف شما استاد صادقی منش
و همچینین از همه دوستان که همراهی کردند و پاسخ دادند

Answer 1

برای یک برابریِ درجهٔ دو، زمانی که $\Delta=0$، برابری یک ریشه دارید. چیزی که شما را به ابهام انداخته‌است درستش این است که این ریشه دارای چندگانگی است و اگر با چندگانگی‌اش شمرده شود، حاصل عدد ۲ می‌شود. پس تعداد ریشه‌ها ۲ نیست، بلکه جمع چندگانگیِ ریشه‌ها ۲ است. «جملهٔ تعداد ریشه‌ها با احتساب چندگانگی» یعنی جمع چندگانگی ریشه‌ها نه تعداد خود ریشه‌ها. احتساب یعنی شامل‌کردن و شمردن. مانند اینکه بگوئید «تعداد اعضای خانوادهٔ من با احتساب سن‌شان ۱۵۰ می‌شود» یعنی اگر هر فردی را به تعداد سال‌های سنش بشماریم، آنگاه ۱۵۰ خواهد شد، نه اینکه ۱۵۰ نفر در خانواده‌ام هستند.

زمانی که بدون هیچ صفت و قید بیشتری گفته می‌شود «$n$ ریشه» منظور همیشه $n$ ریشهٔ نایکسان، متمایز، است، مگر اینکه خلافش صراحتا در متن اشاره یا قرارداد شده‌باشد. پس پرسش شما به این شکل حل می‌شود. برای اینکه برابریِ آمده در متن پرسش‌تان دو ریشهٔ حقیقی داشته‌باشد، باید نابرابریِ زیر را حل کنیم.

$$\begin{array}{l} 36-4(2m-1)(m-2)>0\\ \Longrightarrow -8m^2+20m+28>0\\ \Longrightarrow -4(m+1)(2m-7)>0\\ \Longrightarrow (m+1)(2m-7)< 0\\ \Longrightarrow -1< m< \frac{7}{2} \end{array}$$

Answer 2

اگر دلتا صفر باشد تنها یک ریشه مضاعف خواهیم داشت و طبق فرض سوال نادرست است. پس فقط دلتای مثبت مقبول است که دو ریشه متمایز دارد.

Comments

درود
اگر دلتا صفر باشد 2 ریشه مانند هم داریم (ریشه مضاعف ‌) و باز هم مطابق صورت سوال خواهد شد چون در سوال نگفته دو ریشه حقیقی متمايز.


ایا این استدلال ایرادی دارد؟ممنون میشوم ایرادش را متذکر شوید