با سلام.
یکی از ریشه ها را $ \alpha $ و دیگری را $2 \alpha +1$ فرض می کنیم.
می دانیم حاصل ضرب آن ها برابر $ \frac{m}{2} $ و حاصل جمع آن ها برابر $ \frac{2m+1}{2} $ است. و همچنین معادله دو ریشه ی متمایز دارد و یعنی دلتای آن مثبت است.
بنابراین :
$ \Delta =(2m+1)^2-8m=4m^2-4m+1=(2m-1)^2>0$
که همواره این شرط به جز $m= \frac{1}{2} $ برقرار است.
$3 \alpha +1= \frac{2m+1}{2},2 \alpha ^{2}+ \alpha = \frac{m}{2}$
$ \rightarrow 6\alpha+2=2m+1 , m= \frac{6\alpha+1}{2} $
$2\alpha^2+\alpha= \frac{m}{2}= \frac{ \frac{6\alpha+1}{2} }{2}= \frac{6\alpha+1}{4}$
$ \rightarrow 8\alpha^2+4\alpha=6\alpha+1 , 8\alpha^2-2\alpha-1=0=(2\alpha-1)(4\alpha+1)$
$ \Rightarrow \alpha= \frac{1}{2} / \alpha= \frac{-1}{4} $
اگر $\alpha$ برابر $ \frac{1}{2} $ باشد :
$m= \frac{6 \times \frac{1}{2}+1 }{2}=2 $
اگر $\alpha$ برابر $ \frac{-1}{4} $ باشد :
$m= \frac{6 \times \frac{-1}{4}+1 }{2}= \frac{-1}{4} $
اگر این دو مقدار را در معادله جایگذاری کنیم فقط $m= \frac{-1}{4} $ با فرض های سوال صدق می کند.
$ \Rightarrow m= \frac{-1}{4} $
