اگر یکی از ریشه های معادله $(m+1)x ^2-3x+m $ دو برابر ریشه دیگر باشد مقدار m را بیابید؟

Question

اگر یکی از ریشه های معادله $(m+1)x ^2-3x+m $ دو برابر ریشه دیگر باشد مقدار m کدام است؟

Answer 1

$$(m+1)x^2-3x+m=0$$ دو ریشه معادله رو را به صورت $ \alpha, \beta $ تعریف میکنیم . با توجه به فرض سوال داریم :

$$ \alpha =2 \beta \tag{1}$$

از معادله داریم :

$$ \alpha + \beta =\dfrac{3}{m+1} \tag{2}$$ $$ \alpha \times \beta =\dfrac{m}{m+1} \tag{3}$$

حال از معادله های $(1) ,(2) ,(3)$ خواهیم داشت :

$$ \beta =\dfrac{1}{m+1} , \alpha =m$$

حال میدانیم که $ \alpha =m$ ریشه معادله است . درنتیجه در معادله اولیه صدق میکند . درنتجه خواهیم داشت :

$$(m+1)m^2-3m+m=0 \\ m^3+m^2-2m=0 \\m(m^2+m-2)=0\\ m(m-1)(m+2)=0 \\m=0 \ \ \text{Or} \ \ m=1 \ \ \text{Or} \ \ \ m=-2$$

Comments

درحالت m=0 یک ریشه صفر و یک ریشه 3داریم،به رابطه بین ریشه ها دقت کنیم
چون یکی ازریشه حتما صفراست این که یکی دو برابر باشد رخ نمی دهد!مگراینکه ریشه دوم نیز صفر باشد(ریشه مضاعف صفر) که دراین حالت یکی هر مضربی ازدیگری خواهد بود.